V geometrickej postupnosti sa každý člen rovná predchádzajúcemu členu a konštantný nenulový multiplikátor nazývaný spoločný faktor. Geometrické sekvencie môžu mať pevný počet termínov alebo môžu byť nekonečné. V obidvoch prípadoch môžu byť pojmy geometrickej postupnosti rýchlo veľmi veľké, veľmi negatívne alebo veľmi blízke nule. V porovnaní s aritmetickými sekvenciami sa výrazy menia oveľa rýchlejšie, avšak pri nekonečnej aritmetike sekvencie neustále pribúdajú alebo ubúdajú, geometrické sekvencie sa môžu blížiť k nule, v závislosti od spoločného faktor.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Geometrická postupnosť je usporiadaný zoznam čísel, v ktorých je každý člen súčinom predchádzajúceho člena a pevný nenulový multiplikátor nazývaný spoločný faktor. Každý člen geometrickej postupnosti je geometrickým priemerom výrazov, ktoré predchádzajú a nasledujú po ňom. Nekonečné geometrické sekvencie so spoločným faktorom medzi +1 a -1 sa približujú k hranici nuly ako členy sa pridávajú, zatiaľ čo sekvencie so spoločným faktorom väčším ako +1 alebo menším ako −1 idú na plus alebo mínus nekonečno.
Ako fungujú geometrické sekvencie
Geometrická postupnosť je definovaná jej počiatočným číslomaspoločný faktorra počet výrazovS. Zodpovedajúca všeobecná forma geometrickej postupnosti je:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Všeobecný vzorec pre výrazngeometrickej postupnosti (t. j. ľubovoľného výrazu v rámci tejto postupnosti) je:
a_n = ar ^ {n-1}
Rekurzívny vzorec, ktorý definuje pojem vzhľadom na predchádzajúci výraz, je:
a_n = ra_ {n-1}
Príkladom geometrickej postupnosti so štartovacím číslom 3, spoločným faktorom 2 a ôsmimi členmi je 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Pri výpočte posledného výrazu pomocou všeobecnej formy uvedenej vyššie je tento výraz:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Použitie všeobecného vzorca pre výraz 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Ak chcete použiť rekurzívny vzorec pre výraz 5, potom výraz 4 = 24 a a5 rovná sa:
a_5 = 2 × 24 = 48
Vlastnosti geometrickej postupnosti
Geometrické sekvencie majú z hľadiska geometrického priemeru špeciálne vlastnosti. Geometrický priemer dvoch čísel je druhá odmocnina ich súčinu. Napríklad geometrický priemer 5 a 20 je 10, pretože súčin 5 × 20 = 100 a druhá odmocnina zo 100 sú 10.
V geometrických sekvenciách je každý výraz geometrickým priemerom výrazu pred ním a výrazu za ním. Napríklad v poradí 3, 6, 12... vyššie, 6 je geometrický priemer 3 a 12, 12 je geometrický priemer 6 a 24 a 24 je geometrický priemer 12 a 48.
Ostatné vlastnosti geometrických sekvencií závisia od spoločného faktora. Ak spoločný faktorrje väčšie ako 1, nekonečné geometrické sekvencie sa priblížia k pozitívnemu nekonečnu. Akrje medzi 0 a 1, sekvencie sa budú blížiť k nule. Akrje medzi nulou a -1, sekvencie sa budú blížiť k nule, ale členy sa budú striedať medzi kladnými a zápornými hodnotami. Akrje menej ako -1, budú výrazy smerovať k pozitívnej aj negatívnej nekonečnosti, pretože sa budú striedať medzi pozitívnymi a negatívnymi hodnotami.
Geometrické postupnosti a ich vlastnosti sú užitočné najmä vo vedeckých a matematických modeloch procesov v reálnom svete. Použitie špecifických sekvencií môže pomôcť pri štúdiu populácií, ktoré rastú za dané časové obdobia fixnou rýchlosťou, alebo investícií, ktoré sú predmetom záujmu. Všeobecné a rekurzívne vzorce umožňujú v budúcnosti predpovedať presné hodnoty na základe východiskového bodu a spoločného faktora.