Ako riešiť kubické rovnice

Riešenie polynomiálnych funkcií je kľúčovou zručnosťou pre kohokoľvek, kto študuje matematiku alebo fyziku, ale zvládnuť tento proces - najmä pokiaľ ide o funkcie vyššieho rádu - môže byť dosť náročné. Kubická funkcia je jedným z najnáročnejších typov polynomiálnych rovníc, ktoré možno budete musieť vyriešiť ručne. Aj keď to nemusí byť také jednoduché ako riešenie kvadratickej rovnice, existuje niekoľko metód môžete použiť na nájdenie riešenia kubickej rovnice bez toho, aby ste sa uchýlili k stránkam a stránkam podrobností algebra.

Kubická funkcia je polynóm tretieho stupňa. Všeobecná polynomická funkcia má tvar:

Tu, X je premenná, n je jednoducho akékoľvek číslo (a stupeň polynómu), k je konštanta a ostatné písmená sú konštantné koeficienty pre každú mocninu X. Takže kubická funkcia má n = 3, a je jednoducho:

Kde v tomto prípade d je konštanta. Všeobecne povedané, keď musíte vyriešiť kubickú rovnicu, zobrazí sa vám vo forme:

Každé riešenie pre X sa nazýva „koreň“ rovnice. Kubické rovnice majú buď jeden skutočný koreň, alebo tri, aj keď sa môžu opakovať, ale vždy existuje aspoň jedno riešenie.

Typ rovnice je definovaný najvyšším výkonom, takže v príklade vyššie by to nebola kubická rovnica, ak a = 0, pretože najsilnejší pojem by bol bx² a bola by to kvadratická rovnica. To znamená, že toto sú všetky kubické rovnice:

Najjednoduchší spôsob riešenia kubickej rovnice je trocha dohadovania a algoritmický typ procesu nazývaného syntetické delenie. Začiatok je však v zásade rovnaký ako metóda pokusu a omylu pre riešenia kubických rovníc. Skúste hádaním zistiť, čo je jedným z koreňov. Ak máte rovnicu, kde je prvý koeficient, a, sa rovná 1, potom je o niečo jednoduchšie uhádnuť jeden z koreňov, pretože vždy sú to faktory konštantného člena, ktorý je vyššie uvedený d.

Pozrime sa napríklad na nasledujúcu rovnicu:

Musíte uhádnuť jednu z hodnôt pre X, ale od a = 1 v tomto prípade viete, že nech je hodnota akákoľvek, musí to byť faktor 24. Prvý takýto faktor je 1, ale zostalo by to:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Čo nie je nula a −1 by opustilo:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Čo opäť nie je nula. Ďalšie, X = 2 by dalo:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Ďalším zlyhaním. Skúšam X = −2 dáva:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

To znamená X = −2 je koreňom kubickej rovnice. To ukazuje výhody a nevýhody metódy pokusu a omylu: Odpoveď môžete získať bez väčších problémov myšlienka, ale je to časovo náročné (najmä ak musíte pred nájdením koreňa prejsť na vyššie faktory). Našťastie, keď nájdete jeden koreň, môžete ľahko vyriešiť zvyšok rovnice.

Kľúčové je začlenenie faktorovej vety. Toto uvádza, že ak X = s je riešenie, potom (X – s) je faktor, ktorý sa dá z rovnice vytiahnuť. Pre túto situáciu s = -2, a tak (X + 2) je faktor, ktorý môžeme vytiahnuť na odchod:

Výrazy v druhej skupine zátvoriek majú tvar kvadratickej rovnice, takže ak nájdete príslušné hodnoty pre a a b, rovnica sa dá vyriešiť.

To sa dá dosiahnuť syntetickým delením. Najskôr napíšte koeficienty pôvodnej rovnice do horného riadku tabuľky s deliacou čiarou a potom známym koreňom vpravo:

Ponechajte jeden náhradný riadok a potom pod neho pridajte vodorovnú čiaru. Najskôr vezmite prvé číslo (v tomto prípade 1) do riadku pod vodorovnou čiarou

Teraz vynásobte číslo, ktoré ste práve znížili, známym rootom. V tomto prípade 1 × −2 = −2 a toto sa zapíše pod ďalšie číslo v zozname takto:

Potom pridajte čísla do druhého stĺpca a vložte výsledok pod vodorovnú čiaru:

Teraz zopakujte postup, ktorý ste práve prešli, s novým číslom pod vodorovnou čiarou: Vynásobte root, vložte odpoveď na prázdne miesto v nasledujúcom stĺpci a potom pridajte stĺpec, aby ste získali nové číslo v spodný rad. Toto ponecháva:

A potom prejsť procesom poslednýkrát.

Skutočnosť, že posledná odpoveď je nula, vám hovorí, že máte platný root, takže ak nie je nula, niekde ste urobili chybu.

Teraz vám spodný riadok hovorí o faktoroch troch výrazov v druhej množine zátvoriek, takže môžete písať:

A tak:

Toto je najdôležitejšia fáza riešenia a od tohto bodu môžete končiť mnohými spôsobmi.

Po odstránení faktora môžete nájsť riešenie pomocou faktorizácie. Z vyššie uvedeného kroku je to v podstate rovnaký problém ako s faktorovaním kvadratickej rovnice, čo môže byť v niektorých prípadoch náročné. Pre výraz:

Ak si pamätáte, že dve čísla uvedené v zátvorkách je potrebné pridať, aby ste dostali druhý koeficient (7), a vynásobte ich, aby ste dostali tretí (12), je to v tomto prípade dosť ľahké vidieť:

Ak chcete, môžete to znásobiť. Necítite odradenie, ak nevidíte faktorizáciu hneď; chce to trochu cviku. Toto ponecháva pôvodnú rovnicu ako:

Okamžite môžete vidieť riešenie na adrese X = -2, 3 a 4 (všetky sú faktormi 24, pôvodná konštanta). Teoreticky je tiež možné vidieť celú faktorizáciu počnúc pôvodnou verziou rovnice, ale je to veľa náročnejšie, takže je lepšie nájsť jedno riešenie pokusom a omylom a skôr, ako sa pokúsite spozorovať, použite vyššie uvedený prístup faktorizácia.

Ak sa snažíte vidieť faktorizáciu, môžete použiť vzorec kvadratickej rovnice:

Ak chcete nájsť zostávajúce riešenia.

Aj keď je to oveľa väčšie a menej jednoduché na riešenie, existuje jednoduchý riešiteľ kubických rovníc vo forme kubického vzorca. Je to ako vzorec kvadratickej rovnice, v ktorom iba zadáte svoje hodnoty a, b, c a d nájsť riešenie, ale je len oveľa dlhšie.

Uvádza sa v ňom, že:

kde

a

Používanie tohto vzorca je časovo náročné, ale ak nechcete použiť metódu pokusu a omylu pre riešenia kubických rovníc a potom kvadratický vzorec, bude to fungovať, keď to celé prejdete.