Ako vyriešiť rovnicu druhej odmocniny

Druhá odmocnina čísla je hodnota, ktorá po vynásobení poskytne pôvodné číslo. Napríklad druhá odmocnina z 0 je 0, druhá odmocnina zo 100 je 10 a druhá odmocnina z 50 je 7,071. Niekedy môžete zistiť alebo jednoducho spomenúť na druhú odmocninu čísla, ktoré je samo o sebe „dokonalým druhou mocninou“, čo je súčin celého čísla vynásobeného samým sebou; pri postupe v štúdiu si pravdepodobne vytvoríte mentálny zoznam týchto čísel (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problémy s druhou odmocninou sú nepostrádateľné v strojárstve, kalkulu a prakticky v každej sfére moderného sveta. Aj keď kalkulačky rovníc s druhou odmocninou môžete ľahko nájsť online (príklad nájdete v Zdrojoch), riešenie rovníc s druhou odmocninou je dôležitý zručnosť v algebre, pretože vám umožňuje oboznámiť sa s používaním radikálov a pracovať s mnohými problémovými typmi mimo sféru odmocnin. per se.

Skutočnosť, že vynásobením dvoch záporných čísel spolu získate kladné číslo, je vo svete druhej odmocniny dôležitá, pretože z nej vyplýva že kladné čísla majú v skutočnosti dve druhé odmocniny (napríklad druhé odmocniny 16 sú 4 a −4, aj keď iba prvá je intuitívna). Rovnako záporné čísla nemajú skutočné druhé odmocniny, pretože neexistuje žiadne reálne číslo, ktoré by získalo násobok zápornej hodnoty. V tejto prezentácii bude negatívna druhá odmocnina kladného čísla ignorovaná, takže „druhú odmocninu čísla 361“ je možné brať ako „19“ namiesto „−19 a 19.“

Pri pokuse o odhad hodnoty druhej odmocniny, keď nie je k dispozícii žiadna kalkulačka, je dôležité si uvedomiť, že funkcie zahŕňajúce druhé a druhé odmocniny nie sú lineárne. Viac o tom uvidíte neskôr v časti o grafoch, ale ako hrubý príklad ste si už všimli, že druhá odmocnina čísla 100 je 10 a druhá odmocnina hodnoty 0 je 0. Pri pohľade to môže viesť k hádaniu, že druhá odmocnina pre 50 (čo je v polovici medzi 0 a 100) musí byť 5 (čo je v polovici medzi 0 a 10). Ale tiež ste sa už dozvedeli, že druhá odmocnina z 50 je 7,071.

Nakoniec ste možno zvnútornili myšlienku, že vynásobením dvoch čísel spolu získate číslo väčší ako on sám, z čoho vyplýva, že druhá odmocnina čísel je vždy menšia ako pôvodná číslo. Toto nie je ten prípad! Čísla od 0 do 1 majú tiež druhú odmocninu a druhá odmocnina je v každom prípade väčšia ako pôvodné číslo. Najjednoduchšie sa to zobrazuje pomocou zlomkov. Napríklad 16/25 alebo 0,64 má dokonalý štvorec v čitateľovi aj v menovateli. To znamená, že druhá odmocnina zlomku je druhá odmocnina jeho hornej a dolnej zložky, čo je 4/5. To sa rovná 0,80, čo je väčšie číslo ako 0,64.

"Druhá odmocnina zX„sa obvykle píše pomocou toho, čo sa nazýva radikálne znamenie, alebo iba radikál (√). Teda pre kohokoľvekX​:

predstavuje jeho druhú odmocninu. Keď to otočíte, druhá mocnina číslaXsa zapisuje pomocou exponenta 2 (X​²). Exponenti preberajú horné indexy textového procesora a súvisiacich aplikácií a tiež sa nazývajú mocniny. Pretože radikálne znaky nie je vždy ľahké vyrobiť na požiadanie, ďalší spôsob písania „druhej odmocniny zX"je použiť exponent:

Toto je zase súčasťou všeobecnej schémy:

znamená „zdvihnúťXk mocir, potomzkoreň toho. “X​^1/2 teda znamená „zdvihnúťXk prvej sile, čo je jednoduchoXznova a potom z toho odoberieme jeho druhú odmocninu alebo druhú odmocninu. “Toto predĺžime,X​^(5/3) znamená „zdvihnúťXk sile 5, potom nájdite tretí koreň (alebo kocku koreňa) výsledku. “

Radikály môžu byť použité na vyjadrenie koreňov iných ako 2, druhej odmocniny. To sa deje jednoduchým pripojením horného indexu k ľavému hornému rohu radikálu.

potom predstavuje rovnaké číslo akoX​^(5/3) z predchádzajúceho odseku áno.

Väčšina druhej odmocniny sú iracionálne čísla. To znamená, že nielen že nie sú pekné, úhľadné celé čísla (napr. 1, 2, 3, 4.. .), ale tiež ich nemožno vyjadriť ako úhľadné desatinné číslo, ktoré končí bez nutnosti zaokrúhľovania. Racionálne číslo je možné vyjadriť ako zlomok. Aj keď teda 2,75 nie je celé číslo, je to racionálne číslo, pretože je to to isté ako zlomok 11/4. Už vám bolo povedané, že druhá odmocnina z 50 je 7,071, ale toto je v skutočnosti zaokrúhlené na nekonečné množstvo desatinných miest. Presná hodnota √50 je 5√2 a uvidíte, ako sa to čoskoro určí.

Už ste videli, že rovnice zahŕňajúce druhé a druhé odmocniny sú nelineárne. Jeden ľahký spôsob, ako si to zapamätať, je, že grafy riešení týchto rovníc nie sú čiary. To dáva zmysel, pretože ak, ako je uvedené, štvorec 0 je 0 a štvorec 10 je 100, ale štvorec z 5 nie je 50, graf, ktorý vznikne jednoduchým druhou mocninou čísla, musí krivkovať svoju cestu k správnemu hodnoty.

To je prípad grafu

ako vidíte sami, navštívte kalkulačku v časti Zdroje a zmeňte parametre. Čiara prechádza bodom (0,0) a y neklesne pod 0, čo by ste mali očakávať, pretože to vieteX​² nie je nikdy negatívny. Môžete tiež vidieť, že graf je symetrický okolor-os, čo má tiež zmysel, pretože každú kladnú druhú odmocninu daného čísla sprevádza záporná druhá odmocnina rovnakej veľkosti. Preto, s výnimkou 0, každýrhodnota na grafer​ = ​X​² sa spája s dvomaX-hodnoty.

Jedným zo spôsobov, ako vyriešiť základné problémy s druhou odmocninou ručne, je hľadať dokonalé štvorce „skryté“ vo vnútri problému. Najskôr je dôležité si uvedomiť niekoľko dôležitých vlastností štvorcov a odmocnin. Jedným z nich je to, že rovnako ako √X​² sa jednoducho rovnáX(pretože radikál a exponent sa navzájom rušia):

To znamená, že ak máte dokonalý štvorec pod radikálom, ktorý vynásobí ďalšie číslo, môžete ho „vytiahnuť“ a použiť ho ako koeficient zvyšku. Napríklad návrat k druhej odmocnine 50

Niekedy môžete získať číslo s druhou odmocninou, ktoré je vyjadrené ako zlomok, ale stále je to iracionálne číslo, pretože menovateľ, čitateľ alebo obidve tieto skupiny obsahujú radikál. V takýchto prípadoch môžete byť požiadaní o racionalizáciu menovateľa. Napríklad číslo

má radikál v čitateli aj v menovateli. Ale po podrobnom preskúmaní čísla 45 ho môžete spoznať ako produkt čísel 9 a 5, čo to znamená

Preto sa dá zlomok zapísať

Radikály sa navzájom rušia a zostane vám 6/3 = 2.