Všetci študenti matematiky a veľa študentov prírodovedných predmetov sa v určitej fáze svojho štúdia stretávajú s polynómami, ale našťastie sa s nimi dá ľahko vyrovnať, keď sa naučíte základy. Hlavné operácie, ktoré budete musieť urobiť s polynomiálnymi výrazmi, sú sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, a hoci rozdelenie môže byť zložité, väčšinou zvládnete základné veci ľahkosť.
Polynómy: Definícia a príklady
Polynóm popisuje algebraický výraz s jedným alebo viacerými výrazmi zahŕňajúcimi premennú (alebo s viac ako jedným), s exponentmi a možno aj konštantami. Nemôžu obsahovať delenie premennou, nemôžu mať záporné alebo zlomkové exponenty a musia mať konečný počet výrazov.
Tento príklad ukazuje polynóm:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
A toto ukazuje ďalšie:
xy ^ 2 - 3 x + y
Existuje mnoho spôsobov klasifikácie polynómov, a to aj podľa stupňa (súčet exponentov v termíne s najvyššou silou, napr. 3 v prvý príklad) a počtom výrazov, ktoré obsahujú, ako sú monomials (jeden výraz), binomials (dva výrazy) a trinomials (tri podmienky).
Sčítanie a odčítanie polynómov
Sčítanie a odčítanie polynómov závisí od kombinácie výrazov „páči sa mi to“. Podobným výrazom je výraz s rovnakými premennými a exponentmi ako iný výraz, ale počet, ktorým sa vynásobí (koeficient), môže byť odlišný. Napríklad,X2 a 4X 2 sú ako výrazy, pretože majú rovnakú premennú a exponent a 2xy 4 a 6xy 4 sú tiež ako výrazy. AvšakX2, X3, X2r2 ar2 nie sú ako výrazy, pretože každý z nich obsahuje rôzne kombinácie premenných a exponentov.
Pridajte polynómy kombináciou podobných výrazov rovnakým spôsobom ako s inými algebraickými výrazmi. Napríklad sa pozrite na problém:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Zhromaždením podobných výrazov získate:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
A potom vyhodnotte jednoduchým sčítaním koeficientov a spojením do jedného výrazu:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Všimnite si, že s tým nemôžete nič robiťrpretože nemá podobný výraz.
Odčítanie funguje rovnako:
(4 x ^ 4 + 3 r ^ 2 + 6 r) - (2 x ^ 4 + 2 r ^ 2 + r)
Najskôr si všimnite, že všetky výrazy v pravej zátvorke sú odčítané od výrazov v ľavej zátvorke, takže ich napíšte ako:
4 x ^ 4 + 3 r ^ 2 + 6 r - 2 x ^ 4 - 2 r ^ 2- r
Kombinujte podobné výrazy a vyhodnoťte, čím získate:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 r ^ 2 - 2 r ^ 2) + (6 r - r) = 2 x ^ 4 + r ^ 2 + 5 r
Pre problém ako je tento:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Znamienko mínus sa aplikuje na celý výraz v pravej zátvorke, takže dva záporné znamienka pred číslom 3X2 stať sa dodatkovým znakom:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Potom vypočítajte ako predtým.
Násobenie polynomických výrazov
Znásobte polynomické výrazy pomocou distribučnej vlastnosti násobenia. Stručne povedané, vynásobte každý výraz v prvom polynóme každým výrazom v druhom. Pozrite sa na tento jednoduchý príklad:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Vyriešite to pomocou distribučnej vlastnosti, takže:
\ begin {zarovnané} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {zarovnané}
Rovnakým spôsobom zvládnite aj zložitejšie problémy:
\ begin {aligned} (2 r ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 r ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 r ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 r ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 r ^ 3x ^ 2 + 4 r ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {zarovnané}
Tieto problémy sa môžu komplikovať pre väčšie zoskupenia, ale základný postup je stále rovnaký.
Rozdelenie polynomiálnych výrazov
Rozdelenie polynomických výrazov trvá dlhšie, ale môžete s nimi postupovať postupne. Pozrite sa na výraz:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Najskôr napíš výraz ako dlhé delenie s deliteľom vľavo a dividendou vpravo:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Prvý diel v dividende vydelte prvým členom v deliteľovi a výsledok umiestnite na riadok nad delením. V tomto prípade,X2 ÷ X = X, takže:
\ begin {zarovnané} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {zarovnané}
Vynásobte tento výsledok celým deliteľom, takže v tomto prípade (X + 2) × X = X2 + 2 X. Vložte tento výsledok pod rozdelenie:
\ begin {zarovnané} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {zarovnané}
Výsledok v novom riadku odčítajte od výrazov priamo nad ním (všimnite si, že technicky zmeníte znamienko, takže ak ste dosiahli negatívny výsledok, radšej ho pridajte) a vložte ho do riadku pod ním. Posuňte aj konečné obdobie z pôvodnej dividendy nadol.
\ begin {zarovnané} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {zarovnané}
Teraz opakujte postup s deliteľom a novým polynómom v spodnom riadku. Rozdeľte teda prvý člen deliteľa (X) prvým termínom dividendy (−5X) a vložte toto vyššie:
\ begin {zarovnané} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {zarovnané}
Vynásobte tento výsledok (−5X ÷ X= −5) pôvodným deliteľom (teda (X + 2) × −5 = −5 X−10) a vložte výsledok do nového spodného riadku:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ end {zarovnané}
Potom odčítajte spodný riadok od nasledujúceho nahor (takže v tomto prípade zmeňte znak a pridajte) a výsledok vložte do nového spodného riadku:
\ begin {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {zarovnané}
Keďže v spodnej časti je teraz rad núl, proces je dokončený. Ak by zostali nenulové výrazy, postup by ste zopakovali znova. Výsledok je na hornom riadku, takže:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Toto rozdelenie a niektoré ďalšie je možné vyriešiť jednoduchšie, ak môžete faktor polynómu v dividende.