Metóda eliminácie nekonečného roztoku

Keď začnete s tromi rovnicami a tromi neznámymi (premennými), môžete si myslieť, že máte dostatok informácií na vyriešenie všetkých premenných. Pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou eliminačnej metódy však môžete zistiť, že ide o sústavu nie je dostatočne odhodlaný nájsť jednu jedinečnú odpoveď a namiesto toho je nekonečné množstvo riešení možné. K tomu dôjde, keď sú informácie v jednej z rovníc v systéme nadbytočné voči informáciám obsiahnutým v ostatných rovniciach.

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Tento systém rovníc je zjavne nadbytočný. Jednu rovnicu z druhej môžete vytvoriť jednoduchým vynásobením konštantou. Inými slovami, sprostredkujú rovnaké informácie. Napriek tomu, že existujú dve rovnice pre dve neznáme, x a y, riešenie tohto systému nemožno zúžiť na jednu hodnotu pre x a jednu hodnotu pre y. (x, y) = (1,1) a (5 / 3,0) to riešia rovnako ako mnoho ďalších riešení. Toto je druh „problému“, tento nedostatok informácií, ktorý vedie k nekonečnému množstvu riešení aj vo väčších sústavách rovníc.

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [podčiarkovníky sa používajú iba na zachovanie medzier.] Metódou eliminácie eliminujte x z druhého riadku odčítaním druhého riadku od prvého, čím dáte x + y + z = 10 _2r= 10 x_ +z = 5 Eliminujte x z tretieho radu odčítaním tretieho radu od prvého. x + y + z = 10 _2r=10 r= 5 Je zrejmé, že posledné dve rovnice sú ekvivalentné. y sa rovná 5 a prvú rovnicu je možné zjednodušiť vylúčením y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 alebo x + z = 5 y = 5 Upozorňujeme, že metóda eliminácie tu neprinesie pekný trojuholníkový tvar, ako je to v prípade, keď existuje jedno jedinečné riešenie. Namiesto toho bude posledná rovnica (ak nie viac) sama absorbovaná do ostatných rovníc. Systém je teraz z troch neznámych a iba z dvoch rovníc. Systém sa nazýva „neurčený“, pretože nie je k dispozícii dostatok rovníc na určenie hodnoty všetkých premenných. Možných riešení je nekonečné množstvo.

Nekonečné riešenie pre vyššie uvedený systém je možné zapísať pomocou jednej premennej. Jedným zo spôsobov, ako to napísať, je (x, y, z) = (x, 5,5-x). Pretože x môže nadobudnúť nekonečný počet hodnôt, riešenie môže nadobudnúť nekonečný počet hodnôt.