Kvadratické rovnice sú vzorce, ktoré je možné písať v tvare Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Kvadratickú rovnicu možno niekedy zjednodušiť faktorovaním alebo vyjadrením rovnice ako produktu samostatných výrazov. Toto môže uľahčiť riešenie rovnice. Faktory môžu byť niekedy ťažko identifikovateľné, ale existujú triky, ktoré môžu tento proces uľahčiť.
Znížte rovnicu o najväčší spoločný faktor
Preskúmajte kvadratickú rovnicu a zistite, či existuje číslo a / alebo premenná, ktorá môže rozdeliť jednotlivé členy rovnice. Zvážte napríklad rovnicu 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Najväčšie číslo, ktoré sa dá rovnomerne rozdeliť na každý člen rovnice, je 2, takže 2 je najväčší spoločný faktor (GCF).
Každý člen v rovnici vydelíme GCF a celú rovnicu vynásobíme GCF. V príkladnej rovnici 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 by to malo za následok 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).
Zjednodušte výraz dokončením rozdelenia v jednotlivých termínoch. V konečnej rovnici by nemali byť žiadne zlomky. V príklade by to malo za následok 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.
Hľadajte rozdiel štvorcov (ak B = 0)
Preskúmajte kvadratickú rovnicu a zistite, či má tvar Ax ^ 2 + 0x - C = 0, kde A = y ^ 2 a C = z ^ 2. Ak je to tak, kvadratická rovnica vyjadruje rozdiel dvoch štvorcov. Napríklad v rovnici 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 a C = 9 = 3 ^ 2, takže y = 2 a z = 3.
Faktor rovnicu do tvaru (yx + z) (yx - z) = 0. V príkladovej rovnici y = 2 a z = 3; preto započítaná kvadratická rovnica je (2x + 3) (2x - 3) = 0. Toto bude vždy faktorizovaná forma kvadratickej rovnice, ktorá predstavuje rozdiel štvorcov.
Hľadajte Perfect Squares
Preskúmajte kvadratickú rovnicu a zistite, či je to dokonalý štvorec. Ak je kvadratická rovnica dokonalým štvorcom, možno ju zapísať v tvare y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, napríklad rovnicu 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, ktorú je možné prepísať na (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. V tomto prípade y = 2x a z = 3.
Skontrolujte, či je termín 2yz pozitívny. Ak je výraz pozitívny, faktory dokonalej štvorcovej kvadratickej rovnice sú vždy (y + z) (y + z). Napríklad vo vyššie uvedenej rovnici je 12x kladné, preto sú faktory (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Skontrolujte, či je výraz 2yz záporný. Ak je výraz negatívny, faktory sú vždy (y - z) (y - z). Napríklad, ak by vyššie uvedená rovnica mala výraz -12x namiesto 12x, faktory by boli (2x - 3) (2x - 3) = 0.
Metóda násobenia reverznej FOIL (ak A = 1)
Nastavte faktorizovaný tvar kvadratickej rovnice tak, že napíšete (vx + w) (yx + z) = 0. Pripomeňme si pravidlá pre násobenie FOIL (Prvý, Vonkajší, Vnútorný, Posledný). Pretože prvý člen kvadratickej rovnice je Ax ^ 2, musia oba faktory rovnice obsahovať x.
Riešime pre v a y tak, že vezmeme do úvahy všetky faktory A v kvadratickej rovnici. Ak A = 1, potom v aj y budú vždy 1. V príklade rovnice x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, takže v a y je možné vyriešiť vo faktorovanej rovnici tak, aby sme dostali (1x + w) (1x + z) = 0.
Určte, či sú w a z kladné alebo záporné. Platia tieto pravidlá: C = pozitívny a B = pozitívny; oba faktory majú znamienko + C = pozitívne a B = negatívne; oba faktory majú znak - a C = záporné a B = kladné; faktor s najväčšou hodnotou má znamienko + C = záporné a B = záporné; faktor s najväčšou hodnotou má znamienko - V príklade rovnice z kroku 2, B = -9 a C = +8, takže oba faktory rovnice budú mať - znamienka a faktorovanú rovnicu je možné zapísať ako (1x - w) (1x - z) = 0.
Vytvorte zoznam všetkých faktorov C, aby ste našli hodnoty pre w a z. V príklade vyššie C = 8, takže faktory sú 1 a 8, 2 a 4, -1 a -8 a -2 a -4. Faktory musia sčítať až B, čo je v príkladovej rovnici -9, takže w = -1 a z = -8 (alebo naopak) a naša rovnica je plne zohľadnená ako (1x - 1) (1x - 8) = 0.
Krabicová metóda (ak A nie = 1)
Znížte rovnicu na najjednoduchšiu formu pomocou metódy Greatest Common Factor uvedenej vyššie. Napríklad v rovnici 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 je GCF 9, takže rovnica sa zjednodušuje na 9 (x ^ 2 + 3x - 10).
Nakreslite škatuľu a rozdeľte ju na tabuľku s dvoma riadkami a dvoma stĺpcami. Vložte Ax ^ 2 zjednodušenej rovnice do riadku 1, stĺpca 1 a C zjednodušenej rovnice do riadku 2, stĺpca 2.
Vynásobte A číslom C a nájdite všetky faktory produktu. V príklade vyššie A = 1 a C = -10, takže produkt je (1) (- 10) = -10. Faktory -10 sú -1 a 10, -2 a 5, 1 a -10 a 2 a -5.
Identifikujte, ktoré z faktorov produktu AC pripočítajú k B. V príklade B = 3. Faktory -10, ktoré pripočítajú až 3, sú -2 a 5.
Vynásobte každý z identifikovaných faktorov x. Vo vyššie uvedenom príklade by to malo za následok -2x a 5x. Vložte tieto dva nové výrazy do dvoch prázdnych medzier v grafe, aby tabuľka vyzerala takto:
x ^ 2 | 5x
-2x | -10
Vyhľadajte GCF pre každý riadok a stĺpec v poli. V príklade je CGF pre horný riadok x a pre spodný riadok -2. GCF pre prvý stĺpec je x a pre druhý stĺpec je 5.
Zapíšte faktorovanú rovnicu do tvaru (w + v) (y + z) pomocou faktorov identifikovaných v riadkoch grafu pre w a v a faktorov identifikovaných v stĺpcoch grafu pre y a z. Ak bola rovnica zjednodušená v kroku 1, nezabudnite do faktorizovaného výrazu zahrnúť GCF rovnice. V prípade príkladu bude faktorizovaná rovnica 9 (x - 2) (x + 5) = 0.
Tipy
Skôr ako začnete s ktoroukoľvek z opísaných metód, uistite sa, že je rovnica v štandardnom kvadratickom tvare.
Nie je vždy ľahké určiť dokonalý štvorec alebo rozdiel štvorcov. Ak rýchlo vidíte, že kvadratická rovnica, ktorú sa snažíte zohľadniť, je v jednej z týchto foriem, môže to byť veľká pomoc. Nestrávte však veľa času pokusom o to, pretože ostatné metódy môžu byť rýchlejšie.
Svoju prácu vždy skontrolujte vynásobením faktorov metódou FOIL. Faktory by sa mali vždy znásobiť späť na pôvodnú kvadratickú rovnicu.