3 Metódy riešenia sústav rovníc

Tri metódy, ktoré sa najčastejšie používajú na riešenie systémov rovníc, sú substitučné, eliminačné a rozšírené matice. Substitúcia a eliminácia sú jednoduché metódy, ktoré dokážu efektívne vyriešiť väčšinu systémov dvoch rovníc v niekoľkých jednoduchých krokoch. Metóda rozšírených matíc vyžaduje viac krokov, ale jej aplikácia sa rozširuje na väčšiu škálu systémov.

Substitúcia je metóda riešenia sústavy rovníc tak, že sa z jednej z rovníc odstránia všetky premenné okrem jednej a potom sa táto rovnica vyrieši. To sa dosiahne izolovaním druhej premennej v rovnici a následným nahradením hodnôt týchto premenných v inej inej rovnici. Napríklad na vyriešenie sústavy rovníc x + y = 4, 2x - 3y = 3, izolovajte premennú x v prvej rovnicu dostaneme x = 4 - y, potom túto hodnotu y dosadime do druhej rovnice a dostaneme 2 (4 - y) - 3y = 3. Táto rovnica sa zjednodušuje na -5y = -5 alebo y = 1. Zapojte túto hodnotu do druhej rovnice a nájdite hodnotu x: x + 1 = 4 alebo x = 3.

Eliminácia je ďalším spôsobom riešenia sústav rovníc prepísaním jednej z rovníc iba na jednu premennú. Eliminačná metóda to dosahuje sčítaním alebo odčítaním rovníc od seba, aby zrušila jednu z premenných. Napríklad pridaním rovníc x + 2y = 3 a 2x - 2y = 3 vznikne nová rovnica, 3x = 6 (všimnite si, že výrazy y boli zrušené). Systém je potom vyriešený rovnakými spôsobmi ako pri zámene. Ak nie je možné zrušiť premenné v rovniciach, bude potrebné vynásobiť celú rovnicu koeficientom, aby sa koeficienty zhodovali.

Rozšírené matice sa dajú použiť aj na riešenie sústav rovníc. Rozšírená matica pozostáva z riadkov pre každú rovnicu, stĺpcov pre každú premennú a rozšíreného stĺpca, ktorý obsahuje konštantný výraz na druhej strane rovnice. Napríklad rozšírená matica pre sústavu rovníc 2x + y = 4, 2x - y = 0 je [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Ďalším krokom je použitie základných operácií s riadkami, ako je napríklad vynásobenie alebo vydelenie riadku inou konštantou ako nula a pridanie alebo odčítanie riadkov. Cieľom týchto operácií je previesť maticu do formy riadku, v ktorej je prvý nenulový záznam v každom riadku záznam 1 nad a pod týmto záznamom sú všetky nuly a prvý nenulový záznam pre každý riadok je vždy napravo od všetkých týchto záznamov v riadkoch nad tým. Forma riadkových sledov pre vyššie uvedenú maticu je [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Hodnota prvej premennej je daná prvým riadkom (1x + 0y = 1 alebo x = 1). Hodnota druhej premennej je daná druhým riadkom (0x + 1y = 2 alebo y = 2).

Substitúcia a eliminácia sú jednoduchšie metódy riešenia rovníc a v základnej algebre sa používajú oveľa častejšie ako rozšírené matice. Substitučná metóda je obzvlášť užitočná, keď je jedna z premenných už izolovaná v jednej z rovníc. Metóda eliminácie je užitočná, keď je koeficient jednej z premenných rovnaký (alebo jeho záporný ekvivalent) vo všetkých rovniciach. Primárnou výhodou rozšírených matíc je, že sa dajú použiť na riešenie systémov troch alebo viacerých rovníc v situáciách, keď je substitúcia a eliminácia nerealizovateľná alebo nemožná.