Najlepší spôsob, ako rozčleniť polynómy na zlomky, začína redukciou zlomkov na jednoduchšie výrazy. Polynómy predstavujú algebraické výrazy s dvoma alebo viacerými výrazmi, konkrétnejšie súčet viacerých výrazov, ktoré majú rôzne výrazy tej istej premennej. Stratégie, ktoré pomáhajú pri zjednodušovaní polynómov, zahŕňajú rozdelenie najväčšieho spoločného faktora, po ktorom nasleduje zoskupenie rovnice na jej najnižšie hodnoty. To isté platí aj pri riešení polynómov zlomkami.
Polynómy s definovanými zlomkami
Existujú tri spôsoby, ako zobraziť frázové polynómy s zlomkami. Prvá interpretácia sa zaoberá polynómami so zlomkami koeficientov. V algebre je koeficient definovaný ako množstvo množstva alebo konštanta nájdené pred premennou. Inými slovami, koeficienty pre 7_a_, b a (1/3)c sú 7, 1 a (1/3). Dva príklady polynómov s frakčnými koeficientmi by preto boli:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {a} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
Druhá interpretácia „polynómov s zlomkami“ sa týka polynómov, ktoré existujú v zlomku alebo pomere forma s čitateľom a menovateľom, kde je polynóm čitateľa vydelený menovateľom polynóm. Napríklad tento druhý výklad ilustruje:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Tretí výklad sa medzitým týka rozkladu parciálnych frakcií, tiež známych ako expanzia parciálnych frakcií. Polynomické zlomky sú niekedy zložité, takže keď sa „rozpadnú“ alebo „rozpadnú“ na jednoduchšie pojmy, prezentujú sa ako súčty, rozdiely, súčiny alebo podiely polynómu zlomky. Pre ilustráciu, komplexný polynomický zlomok:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
sa hodnotí rozkladom parciálnych zlomkov, ktorý mimochodom zahŕňa aj delenie polynómov v najjednoduchšej podobe:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Základy factoringu - distribučný majetok a metóda FOIL
Faktory predstavujú dve čísla, ktoré sa po vynásobení rovnajú tretiemu číslu. V algebraických rovniciach určuje factoring, aké dve veličiny sa spolu vynásobili, aby sa dospelo k danému polynómu. Pri násobení polynómov je distribučná vlastnosť veľmi sledovaná. Distribučná vlastnosť v podstate umožňuje človeku vynásobiť sumu vynásobením každého čísla jednotlivo pred pridaním produktov. Všimnite si napríklad, ako sa distribučná vlastnosť uplatňuje v príklade:
7 (10x + 5) \ text {na dosiahnutie dvojmiestneho čísla} 70x + 35.
Ak sa však množia dva dvojčleny dohromady, použije sa rozšírená verzia distribučnej vlastnosti metódou FOIL. FOIL predstavuje skratku pre násobenie prvého, vonkajšieho, vnútorného a posledného výrazu. Faktoring polynómov teda znamená vykonávanie metódy FOIL dozadu. Vezmime si dva vyššie uvedené príklady s polynómami obsahujúcimi zlomkové koeficienty. Vykonanie metódy FOIL dozadu na každom z nich vedie k faktorom
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
pre prvý polynóm a faktory
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
pre druhý polynóm.
Príklad:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Príklad:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Kroky, ktoré treba podniknúť pri faktorovaní polynomických zlomkov
Zhora zahŕňajú polynomické zlomky polynóm v čitateli vydelený polynómom v menovateli. Vyhodnotenie polynomiálnych zlomkov si preto vyžaduje najprv faktorizáciu polynómu čitateľa, po ktorom nasleduje faktoring polynómu menovateľa. Pomáha nájsť najväčší spoločný faktor (GCF) medzi čitateľom a menovateľom. Akonáhle sa nájde GCF čitateľa aj menovateľa, zruší sa a nakoniec sa celá rovnica zjednoduší. Zvážte pôvodný príklad polynomiálneho zlomku vyššie
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Rozdelenie polynómov čitateľa a menovateľa na nájdenie výsledkov GCF v:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
s GCF je (X + 2).
GCF v čitateľovi aj v menovateli sa navzájom rušia, aby poskytli konečnú odpoveď v najnižších hodnotách (X + 5) ÷ (X + 9).
Príklad:
\ begin {zarovnané} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ zrušiť {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {zarovnané}
Vyhodnocovanie rovníc pomocou rozkladu čiastočných zlomkov
Rozklad parciálnych zlomkov, ktorý zahŕňa faktoring, je spôsob prepísania zložitých polynomiálnych zlomkových rovníc do jednoduchšej formy. Prehodnotenie príkladu zhora z
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Zjednodušte si Menovateľa
Zjednodušte menovateľa a získate:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Usporiadajte čitateľ
Ďalej usporiadajte čitateľ tak, aby začal mať v menovateli GCF, aby ste dostali:
\ begin {zarovnané} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {zarovnané}
Pre ľavú prílohu je GCF (X - 1), zatiaľ čo pre správny doplnok je GCF (X + 2), ktoré sa rušia v čitateľovi a menovateli, ako je vidieť na:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ zrušiť {(x - 1)}} {(x + 2) \ zrušiť {(x - 1)}} + \ frac {5 \ zrušiť {(x + 2)}} {\ zrušiť {(x + 2)} (x - 1) }
Keď sa teda GCF zrušia, konečná zjednodušená odpoveď je:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
ako riešenie rozkladu parciálnej frakcie.