Každý študent algebry na vyšších úrovniach sa musí naučiť riešiť kvadratické rovnice. Jedná sa o typ polynomiálnej rovnice, ktorá obsahuje mocninu 2, ale žiadnu vyššiu, a majú všeobecnú formu:sekera2 + bx + c= 0. Môžete ich vyriešiť použitím vzorca kvadratickej rovnice, faktorizáciou alebo doplnením štvorca.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Najprv hľadajte faktorizáciu na vyriešenie rovnice. Ak nie je, alebkoeficient je deliteľný 2, doplňte štvorec. Ak ani jeden prístup nie je jednoduchý, použite vzorec kvadratickej rovnice.
Využitie faktorizácie pri riešení rovnice
Faktorizácia využíva skutočnosť, že pravá strana štandardnej kvadratickej rovnice sa rovná nule. To znamená, že ak môžete rozdeliť rovnicu na dva členy v zátvorkách, ktoré sa navzájom vynásobia, môžete riešenia vyriešiť tak, že rozmýšľate, čo by urobilo každú zátvorku nulovou. Uvediem konkrétny príklad:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Porovnajte to so štandardným formulárom:
sekera ^ 2 + bx + c = 0
V príkladea = 1, b= 6 ac= 9. Úlohou faktorizácie je nájsť dve čísla, ktoré sa spoja a dajú číslo v
Takže, predstavujúci čísladae, hľadáte čísla, ktoré vyhovujú:
d + e = b
Alebo v tomto prípade sb = 6:
d + e = 6
A
d × e = c
Alebo v tomto prípade sc = 9:
d × e = 9
Zamerajte sa na hľadanie čísel, ktoré sú faktormic, a potom ich spojiť a zistiť, či sa rovnajúb. Ak máte svoje čísla, vložte ich v nasledujúcom formáte:
(x + d) (x + e)
Vo vyššie uvedenom príklade obojedaesú 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ak vynásobíte zátvorky, nakoniec získate pôvodný výraz a je dobré skontrolovať svoju faktorizáciu. Tento proces môžete prejsť (opačným znásobením prvej, vnútornej, vonkajšej a potom poslednej časti zátvoriek - podrobnejšie informácie nájdete v časti Zdroje):
\ begin {aligned} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {zarovnané}
Faktorizácia účinne prechádza týmto procesom v opačnom poradí, ale môže byť náročné vypracovať správny spôsob faktorovania kvadratickej rovnice a táto metóda nie je na to ideálna pre každú kvadratickú rovnicu dôvod. Často musíte uhádnuť faktorizáciu a potom ju skontrolovať.
Problémom je teraz to, aby sa niektorý z výrazov v zátvorkách dostal na nulu pomocou vášho výberu hodnoty preX. Ak sa ktorákoľvek zátvorka rovná nule, celá rovnica sa rovná nule a našli ste riešenie. Pozrite sa na poslednú fázu [(X + 3) (X+ 3) = 0] a uvidíte, že zátvorky vyjdú na nulu iba vtedy, akX= −3. Vo väčšine prípadov však majú kvadratické rovnice dve riešenia.
Faktorizácia je ešte náročnejšia, akasa nerovná jednej, ale zameranie na jednoduché prípady je spočiatku lepšie.
Dokončenie štvorca na vyriešenie rovnice
Vyplnenie štvorca vám pomôže vyriešiť kvadratické rovnice, ktoré sa nedajú ľahko faktorizovať. Táto metóda môže fungovať pre každú kvadratickú rovnicu, ale niektoré rovnice jej vyhovujú viac ako iné. Tento prístup zahŕňa vytvorenie výrazu do dokonalého štvorca a jeho riešenie. Všeobecný dokonalý štvorec sa rozširuje takto:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Ak chcete vyriešiť kvadratickú rovnicu dokončením štvorca, získajte výraz do tvaru na pravej strane vyššie. Najskôr rozdeľte číslo dobpozíciu o 2, a potom výsledok umocniť. Takže pre rovnicu:
x ^ 2 + 8x = 0
Koeficientb= 8, takžeb÷ 2 = 4 a (b ÷ 2)2 = 16.
Pridajte toto na obe strany a získate:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Upozorňujeme, že tento formulár sa zhoduje s dokonalým štvorcovým tvarom sd= 4, takže 2d= 8 ad2 = 16. To znamená, že:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Vložte toto do predchádzajúcej rovnice a získate:
(x + 4) ^ 2 = 16
Teraz vyrieš rovnicu preX. Využite druhú odmocninu oboch strán a získate:
x + 4 = \ sqrt {16}
Odčítaním 4 od oboch strán získate:
x = \ sqrt {16} - 4
Koreň môže byť kladný alebo záporný a odvodenie záporného koreňa dáva:
x = -4 - 4 = -8
Nájdite ďalšie riešenie s kladným koreňom:
x = 4 - 4 = 0
Jediným nenulovým riešením je teda −8. Overte to pôvodným výrazom.
Použitie kvadratického vzorca na riešenie rovnice
Vzorec kvadratickej rovnice vyzerá zložitejšie ako ostatné metódy, je to však najspoľahlivejšia metóda a môžete ju použiť na ľubovoľnú kvadratickú rovnicu. Rovnica používa symboly zo štandardnej kvadratickej rovnice:
sekera ^ 2 + bx + c = 0
A uvádza, že:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Vložte príslušné čísla na svoje miesta a postupujte podľa vzorca na riešenie. Nezabudnite vyskúšať odčítanie aj pridanie druhej odmocniny a poznačte si obe odpovede. Nasledujúci príklad:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Máša = 1, b= 6 ac= 5. Vzorec teda dáva:
\ begin {zarovnané} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {zarovnané}
Pozitívne znamienko dáva:
\ begin {zarovnané} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {zarovnané}
A záporné znamienko dáva:
\ begin {zarovnaný} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {zarovnaný}
Ktoré sú dve riešenia rovnice.
Ako určiť najlepšiu metódu riešenia kvadratických rovníc
Než vyskúšate čokoľvek iné, hľadajte faktorizáciu. Ak jednu nájdete, je to najrýchlejší a najjednoduchší spôsob riešenia kvadratickej rovnice. Pamätajte, že hľadáte dve čísla, ktoré by sa zhodovali sbkoeficient a vynásobte, čím získateckoeficient. Pre túto rovnicu:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Môžete si všimnúť, že 2 + 3 = 5 a 2 × 3 = 6, takže:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
AX= −2 aleboX = −3.
Ak nevidíte faktorizáciu, skontrolujte, čibkoeficient je deliteľný 2 bez použitia zlomkov. Ak je, vyplnenie štvorca je pravdepodobne najjednoduchší spôsob riešenia rovnice.
Ak sa ani jeden prístup nezdá vhodný, použite vzorec. Zdá sa to ako najťažší prístup, ale ak ste na skúške alebo sa inak snažíte stráviť čas, môže to spôsobiť, že proces bude oveľa menej stresujúci a oveľa rýchlejší.