Binomické rozdelenie popisuje premennú X ak 1) je pevné číslo n pozorovania premennej; 2) všetky pozorovania sú navzájom nezávislé; 3) pravdepodobnosť úspechu p je pre každé pozorovanie rovnaké; a 4) každé pozorovanie predstavuje jeden z presne dvoch možných výsledkov (odtiaľ pochádza slovo „binomický“ - myslím „binárny“). Táto posledná kvalifikácia rozlišuje binomické distribúcie od Poissonových distribúcií, ktoré sa menia skôr nepretržite ako diskrétne.
Takéto rozdelenie sa dá napísať B(n, p).
Výpočet pravdepodobnosti daného pozorovania
Povedzte hodnotu k leží niekde pozdĺž grafu binomického rozdelenia, ktorý je symetrický so strednou hodnotou np. Na výpočet pravdepodobnosti, že pozorovanie bude mať túto hodnotu, je potrebné vyriešiť túto rovnicu:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
kde
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
„!“ znamená faktoriálnu funkciu, napr. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Príklad
Povedzme, že basketbalista vykoná 24 trestných hodov a má stanovenú úspešnosť 75 percent (p = 0.75). Aká je šanca, že trafí presne 20 z jej 24 striel?
Najprv vypočítajte (n: k) nasledovne:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Teda
P (20) = 10 626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Tento hráč má teda 13,1-percentnú šancu uskutočniť presne 20 z 24 trestných hodov, v súlade s tým, čo by mohla intuícia navrhnúť hráčku, ktorá by zvyčajne zasiahla 18 z 24 trestných hodov (z dôvodu jej úspešnosti 75 percent).