Každý, kto niekedy hrával biliard, je oboznámený so zákonom zachovania hybnosti, či už si to uvedomuje alebo nie.
Zákon zachovania hybnosti je základom pri porozumení a predpovedaní toho, čo sa stane, keď objekty interagujú alebo sa zrazia. Tento zákon predpovedá pohyby biliardových gúľ a je to, čo rozhoduje o tom, či sa táto osem guľôčok dostane do rohového vrecka alebo nie.
Čo je hybnosť?
Hybnosť je definovaná ako súčin hmotnosti a rýchlosti objektu. Vo forme rovnice sa to často píše akop = mv.
Je to vektorová veličina, čo znamená, že má s ňou spojený smer. Smer vektora hybnosti objektu je rovnaký smer ako jeho vektor rýchlosti.
Hybnosť izolovaného systému je súčtom hybnosti každého jednotlivého objektu v tomto systéme. Izolovaný systém je systém interagujúcich objektov, ktoré nijako netýkajú ničoho iného. Inými slovami, na systém nepôsobí žiadna čistá vonkajšia sila.
Štúdium celkovej hybnosti v izolovanom systéme je dôležité, pretože vám umožňuje predpovedať, čo sa stane s objektmi v systéme počas kolízií a interakcií.
Čo sú zákony o ochrane prírody?
Predtým, ako sa pustíme do porozumenia zákona zachovania hybnosti, je dôležité pochopiť, čo sa rozumie pod pojmom „konzervovaná veličina“.
Zachovať niečo znamená zabrániť nejakým spôsobom jeho plytvaniu alebo strate. Vo fyzike sa hovorí o zachovaní veličiny, ak zostane konštantná. Možno ste už počuli tento výraz, ktorý sa týka zachovania energie, čo je predstava, že energiu nemožno vytvoriť ani zničiť, ale iba zmeniť formu. Preto jeho celkové množstvo zostáva konštantné.
Keď hovoríme o zachovaní hybnosti, hovoríme o celkovom množstve hybnosti, ktorá zostáva konštantná. Táto hybnosť sa môže prenášať z jedného objektu do druhého v izolovanom systéme a môže sa považovať za zachovanú, ak sa celková hybnosť v tomto systéme nezmení.
Newtonov druhý zákon pohybu a zákon zachovania hybnosti
Zákon zachovania hybnosti možno odvodiť z druhého Newtonovho zákona pohybu. Pripomeňme, že tento zákon súvisel so silou, hmotnosťou a zrýchlením objektu akoFsieť = ma.
Trik je v tom, uvažovať o tejto čistej sile pôsobiacej na systém ako celok. Zákon zachovania hybnosti platí, keď je čistá sila v systéme 0. To znamená, že pre každý objekt v systéme musia jediné sily, ktoré na neho môžu pôsobiť, pochádzať z iných objektov v systéme, inak musia byť nejako zrušené.
Vonkajšie sily môžu byť trenie, gravitácia alebo odpor vzduchu. Musia buď nekonať, alebo musia byť pôsobené proti, aby sa sila v sieti vyvinula 0.
Odvodenie môžete začať výpisomFsieť = ma = 0.
Themv tomto prípade je hmotnosť celého systému. Predmetné zrýchlenie je čisté zrýchlenie systému, ktoré sa vzťahuje na zrýchlenie ťažiska systému (ťažisko je priemerné umiestnenie celého systému omša.)
Aby bola čistá sila 0, musí byť aj zrýchlenie 0. Pretože zrýchlenie je zmena rýchlosti v priebehu času, znamená to, že rýchlosť sa nesmie meniť. Inými slovami, rýchlosť je konštantná. Preto dostaneme vyhlásenie, žemvcm= konštantná.
Kdevcmje rýchlosť ťažiska daná vzorcom:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Takže teraz sa vyhlásenie redukuje na:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ text {konštanta}
Toto je rovnica, ktorá popisuje zachovanie hybnosti. Každý člen je hybnosťou jedného z objektov v systéme a súčet všetkých momentov musí byť konštantný. Ďalším spôsobom, ako to vyjadriť, je uvedenie:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Kde dolný indexioznačuje počiatočné hodnoty afna konečné hodnoty, ktoré sa zvyčajne vyskytujú pred a potom po nejakej interakcii, napríklad kolízii medzi objektmi v systéme.
Elastické a nepružné kolízie
Zákon o zachovaní hybnosti je dôležitý preto, že vám umožňuje vyriešiť problém s neznáma konečná rýchlosť a podobne pre objekty v izolovanom systéme, ktoré by mohli naraziť do každého z nich iné.
Existujú dva hlavné spôsoby, ako môže k takejto zrážke dôjsť: elasticky alebo nepružne.
Dokonale elastická zrážka je taká, pri ktorej sa od seba odrážajú kolízne objekty. Tento typ zrážky sa vyznačuje zachovaním kinetickej energie. Kinetická energia objektu je daná vzorcom:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Ak je kinetická energia zachovaná, potom musí súčet kinetických energií všetkých objektov v systéme zostať konštantný pred aj po akýchkoľvek kolíziách. Použitie zachovania kinetickej energie spolu so zachovaním hybnosti vám umožní vyriešiť viac ako jednu konečnú alebo počiatočnú rýchlosť v kolíznom systéme.
Dokonale nepružná zrážka je tá, pri ktorej sa pri zrážke dvoch objektov navzájom prilepia a následne sa pohybujú ako singulárna hmota. To tiež môže zjednodušiť problém, pretože stačí určiť jednu konečnú rýchlosť namiesto dvoch.
Zatiaľ čo hybnosť sa zachováva pri oboch typoch zrážok, kinetická energia sa zachováva iba pri pružnej zrážke. Väčšina skutočných kolízií nie je ani úplne elastická, ani dokonale nepružná, ale ležia niekde medzi nimi.
Zachovanie momentu hybnosti
To, čo bolo popísané v predchádzajúcej časti, je zachovanie lineárnej hybnosti. Existuje ďalší typ hybnosti, ktorý sa vzťahuje na rotačný pohyb, ktorý sa nazýva moment hybnosti.
Rovnako ako u lineárnej hybnosti sa zachováva aj moment hybnosti. Moment hybnosti závisí od hmotnosti objektu a tiež od toho, ako ďaleko je táto hmotnosť od osi otáčania.
Keď sa krasokorčuliar roztočí, uvidíte, ako sa rýchlejšie otáčajú, keď približujú ruky k telu. Je to tak preto, lebo ich moment hybnosti sa zachováva iba vtedy, ak sa ich rýchlosť otáčania zvyšuje úmerne s tým, ako blízko dosahujú ruky do stredu.
Príklady problémov so zachovaním hybnosti
Príklad 1:Dve biliardové gule rovnakej hmotnosti sa k sebe váľajú. Jeden cestuje počiatočnou rýchlosťou 2 m / s a druhý cestuje rýchlosťou 4 m / s. Ak je ich zrážka dokonale elastická, aká je konečná rýchlosť každej lopty?
Riešenie 1:Pri riešení tohto problému je dôležité zvoliť súradnicový systém. Pretože sa všetko deje po priamke, môžete sa rozhodnúť, že pohyb doprava je pozitívny a pohyb doľava záporný. Predpokladajme, že prvá guľa cestuje doprava rýchlosťou 2 m / s. Rýchlosť druhej gule je potom -4 m / s.
Napíšte výraz pre celkovú hybnosť systému pred zrážkou, ako aj pre celkovú kinetickú energiu systému pred zrážkou:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Pripojením hodnôt získate výraz pre každú z nich:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2 m - 4 m = -2 m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10 m
Všimnite si, že keďže ste nezadali hodnoty pre masy, zostávajú neznáme, aj keď obe hmoty boli rovnaké, čo umožnilo určité zjednodušenie.
Po zrážke sú výrazy pre hybnosť a kinetickú energiu:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Nastavením počiatočných hodnôt rovnajúcich sa konečným hodnotám každej z nich môžete hmotnosti zrušiť. Potom vám zostane sústava dvoch rovníc a dvoch neznámych veličín:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ znamená v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10 m \ znamená v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Riešenie systému algebraicky poskytuje nasledujúce riešenia:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Všimnite si, že pretože obe guľky mali rovnakú hmotnosť, v podstate si menili rýchlosti.
Príklad 2:1200-kilogramové auto idúce na východ rýchlosťou 20 míľ za hodinu sa zrazilo čelne s nákladným autom s hmotnosťou 3 000 kg idúcim na západ rýchlosťou 15 míľ za hodinu. Pri zrážke sa obe vozidlá držia spolu. S akou konečnou rýchlosťou sa pohybujú?
Riešenie 2:Jedna vec, ktorú treba poznamenať o tomto konkrétnom probléme, sú jednotky. Jednotky SI pre hybnosť sú kg⋅m / s. Udáva sa vám však hmotnosť v kg a rýchlosť v míľach za hodinu. Upozorňujeme, že pokiaľ sú všetky rýchlosti v konzistentných jednotkách, nie je potrebné ich prevádzať. Keď vyriešite konečnú rýchlosť, vaša odpoveď bude v míľach za hodinu.
Počiatočná hybnosť systému môže byť vyjadrená ako:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ krát 20 - 3000 \ krát 15 = -21 000 \ text {kg} \ krát \ text {mph}
Konečná hybnosť systému môže byť vyjadrená ako:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Zákon zachovania hybnosti vám hovorí, že tieto počiatočné a konečné hodnoty by mali byť rovnaké. Konečnú rýchlosť môžete vyriešiť nastavením počiatočnej hybnosti rovnajúcej sa poslednej hybnosti a výslednú rýchlosť vyriešite takto:
4200v_f = -21 000 \ znamená v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
Príklad 3:Ukážte, že kinetická energia nebola zachovaná v predchádzajúcej otázke, ktorá sa týkala nepružnej kolízie medzi autom a nákladným autom.
Riešenie 3:Počiatočná kinetická energia tohto systému bola:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557 500 \ text {kg (mph)} ^ 2
Konečná kinetická energia systému bola:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52 500 \ text {kg (mph)} ^ 2
Pretože počiatočná celková kinetická energia a celková konečná kinetická energia nie sú rovnaké, potom môžete dospieť k záveru, že kinetická energia nebola konzervovaná.
