Vektory a skaláre: Čo to je a prečo sú dôležité?

V každodennom živote väčšina ľudí používa tieto výrazyrýchlosťarýchlosťzameniteľné, ale pre fyzikov sú to príklady dvoch veľmi odlišných druhov kvantity.

Problémy s mechanikou sa zaoberajú pohybom objektov, a aj keď pohyb môžete opísať iba z hľadiska rýchlosti, konkrétny smer, ktorým sa niečo uberá, je často kriticky dôležitý.

Sily pôsobiace na objekty môžu podobne pochádzať z mnohých rôznych smerov - myslite napríklad na protichodné ťahy v ťahaniciach - takže fyzici popisujúci situácie ako je táto, musia použiť veličiny, ktoré popisujú „veľkosť“ vecí, ako sú sily, aj smer, v ktorom sa pohybujú konať. Tieto veličiny sa nazývajúvektory​.

TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)

Vektor má veľkosť aj konkrétny smer, ale skalárna veličina má iba veľkosť.

Kľúčovým rozdielom medzi vektormi a skalármi je, že veľkosť vektora to úplne nevystihuje; tiež musí byť stanovené smerovanie.

Smer vektora možno určiť mnohými spôsobmi, či už kladnými alebo zápornými znakmi pred ním, vyjadrujúc ho vo forme zložiek (skalárne hodnoty vedľa príslušnej

Naopak, skalár je iba veľkosť vektora bez akejkoľvek dodatočnej notácie alebo informácií, ktoré sú k dispozícii - napríklad rýchlosť je skalárny ekvivalent vektora rýchlosti. Z matematického hľadiska je to absolútna hodnota vektora.

Mnoho veličín, ako napríklad energia, tlak, dĺžka, hmotnosť, výkon a teplota, sú príkladmi skalárov, ktoré nie sú iba veľkosťou zodpovedajúceho vektora. Nepotrebujete poznať napríklad „smer“ hmoty, aby ste o nej mali úplný obraz ako o fyzickej vlastnosti.

Existuje niekoľko kontraintuitívnych faktov, ktorým môžete porozumieť, keď poznáte rozdiel medzi skalárom a vektor, napríklad predstava, že niečo môže mať konštantnú rýchlosť, ale neustále sa mení rýchlosť. Predstavte si auto, ktoré jazdí konštantnou rýchlosťou 10 km / h, ale v kruhu. Pretože smer vektora je súčasťou jeho definície, vektor rýchlosti vozidla je vždy sa v tomto príklade mení, a to napriek skutočnosti, že veľkosť vektora (t. j. jeho rýchlosť) je konštantný.

Existuje veľa príkladov vektorov vo fyzike, ale niektoré z najznámejších príkladov sú sila, hybnosť, zrýchlenie a rýchlosť, z ktorých všetky sú v klasickej fyzike charakteristické. Vektor rýchlosti je možné zobraziť ako 25 m / s na východ, - 8 km / h vr-smer,​v​= 5 m / si+ 10 m / sjalebo 10 m / s v smere 50 stupňov odX- os.

Vektory hybnosti sú ďalším príkladom, pomocou ktorého môžete zistiť, ako sa veľkosť a smer vektora zobrazujú vo fyzike. Fungujú rovnako ako príklady vektorov rýchlosti, s 50 kg m / s na západ, −12 km / hvzsmer,​p​= 12 kg m / si- 10 kg m / sj- 15 kg m / ska 100 kg m / s 30 stupňov odX-os je príkladom toho, ako by sa dali zobraziť. Rovnaké základné body platia aj pre zobrazenie vektorov zrýchlenia, rozdiel je iba v jednotkách m / s² a bežne používaný symbol pre vektor,​a​​.

Sila je posledný z týchto príkladov vektorových výrazov, a aj keď existuje veľa podobností, pomocou valcových súradníc (r​, ​θ​, ​z) namiesto karteziánskych súradníc môžu pomôcť zobraziť iné spôsoby, ako sa môžu zobraziť. Napríklad môžete napísať silu ako​F​= 10 Nr+ 35 s𝛉, pre silu so zložkami v radiálnom smere a v azimutálnom smere, alebo popíšte gravitačnú silu na 1-kilogramový objekt na Zemi ako 10 N v -rsmer (t.j. smerom do stredu planéty).

V diagramoch sa vektory zobrazujú pomocou šípok, pričom veľkosť vektora predstavuje dĺžka šípky a jeho smer predstavuje smer, ktorým šípka ukazuje. Napríklad väčšia šípka ukazuje, že sila je väčšia (t.j. viac newtonov alebo väčšia veľkosť) ako iná sila.

Pre vektor, ktorý zobrazuje pohyb, ako napríklad hybnosť alebo vektor rýchlosti, platínulový vektor(tj. vektor predstavujúci žiadnu rýchlosť alebo hybnosť) sa zobrazuje pomocou jednej bodky.

Stojí za zmienku, že pretože dĺžka šípky predstavuje veľkosť vektora a jeho orientácia predstavuje smer vektora. Pri vytváraní vektorového diagramu je užitočné snažiť sa byť primerane presní. Nemusí to byť dokonalé, ale ak vektor​a​je dvakrát väčší ako vektor​b​, šípka by mala byť zhruba dvakrát tak dlhá.

Sčítanie vektorov a odčítanie vektorov sú o niečo komplikovanejšie ako sčítanie a odčítanie skalárov, ale pojmy môžete ľahko zistiť. Môžete použiť dva hlavné prístupy a každý z nich má potenciálne využitie v závislosti od konkrétneho problému, ktorý riešite.

Prvý, a najľahšie použiteľný, keď ste dostali dva vektory v podobe komponentov, je jednoducho pridať zodpovedajúce komponenty rovnakým spôsobom, ako by ste pridali bežné skaláre. Napríklad, ak ste potrebovali pridať dve sily​F​​₁ = 5 N.i+ 10 N.ja​F​​₂ = 6 N.i+ 15 sj+ 10 N.k, pridali by steikomponenty, potomjkomponenty a nakonieckkomponenty:

Odčítanie vektorov funguje úplne rovnakým spôsobom, až na to, že namiesto odčítania množstiev odčítate. Sčítanie vektorov je tiež komutatívne, ako bežné sčítanie so skutočnými číslami, takže​a ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​a​​.

Sčítanie vektorov môžete vykonať aj pomocou šípkových diagramov tak, že vektorové šípky umiestnite úplne dozadu a potom nakreslenie novej vektorovej šípky pre súčet vektorov spájajúcich chvost prvej šípky s hlavou druhý.

Ak máte jednoduchý vektorový doplnok s jedným vX-smer a ďalší vr-smer, diagram vytvára pravouhlý trojuholník. Sčítanie vektorov môžete dokončiť a určiť veľkosť a smer výsledného vektora „vyriešením“ trojuholníka pomocou trigonometrie a Pytagorovej vety.

Násobenie vektorov je o niečo komplikovanejšie ako skalárne násobenie pre reálne čísla, ale dve hlavné formy násobenia sú bodový súčin a krížový súčin. Bodový súčin sa nazýva skalárny súčin a je definovaný ako:

alebo

kdeθje uhol medzi dvoma vektormi a dolné indexy 1, 2 a 3 predstavujú prvú, druhú a tretiu zložku vektora. Výsledok bodového súčinu je skalárny.

Krížový produkt je definovaný ako:

s čiarkami oddeľujúcimi komponenty výsledku v rôznych smeroch.