Písmeno E môže mať v matematike dva rôzne významy, podľa toho, či ide o veľké E alebo malé e. Hlavné mesto E zvyčajne vidíte na kalkulačke, čo znamená zvýšiť číslo nasledujúce po ňom na hodnotu 10. Napríklad 1E6 by stál 1 × 106alebo 1 milión. Normálne je použitie E vyhradené pre čísla, ktoré by boli príliš dlhé na to, aby sa zobrazili na obrazovke kalkulačky, ak by boli napísané rukou.
Matematici používajú malé písmeno e na oveľa zaujímavejší účel - na označenie Eulerovho čísla. Toto číslo, podobne ako π, je iracionálne číslo, pretože má jednorazové desatinné miesto, ktoré sa tiahne do nekonečna. Rovnako ako iracionálny človek sa zdá, že iracionálne číslo nemá zmysel, ale číslo, ktoré označuje e, nemusí mať zmysel, aby bolo užitočné. V skutočnosti je to jedno z najužitočnejších čísel v matematike.
E vo vedeckej notácii a význam 1E6
Na použitie čísla E vo vedeckej notácii nepotrebujete kalkulačku. Môžete jednoducho nechať E stáť ako základ koreňa exponenta, ale iba keď je základ 10. Nepoužívali by ste E na označenie základne 8, 4 alebo akejkoľvek inej základne, najmä ak je základňou Eulerovo číslo, napr.
Keď použijete E týmto spôsobom, napíšete čísloXEr, kdeXje prvá skupina celých čísel v počte arje exponent. Napríklad by ste napísali číslo 1 milión ako 1E6. V bežnom vedeckom zápise je to 1 × 106, alebo 1, za ktorým nasleduje 6 núl. Podobne 5 miliónov by bolo 5E6 a 42 732 by bolo 4,27E4. Pri písaní čísla vedeckým zápisom, bez ohľadu na to, či používate E alebo nie, sa zvyčajne zaokrúhľujete na dve desatinné miesta.
Odkiaľ pochádza Eulerovo číslo, e?
Číslo predstavované písmenom e objavil matematik Leonard Euler ako riešenie problému, ktorý pred 50 rokmi položil iný matematik Jacob Bernoulli. Bernoulliho problém bol finančný.
Predpokladajme, že dáte 1 000 dolárov do banky, ktorá platí 100% ročný zložený úrok, a necháte ich tam rok. Budete mať 2 000 dolárov. Teraz predpokladajme, že úroková sadzba je polovičná, ale banka ju platí dvakrát ročne. Na konci roka by ste mali 2 250 dolárov. Teraz predpokladajme, že banka zaplatila iba 8,33%, čo je 1/12 zo 100%, ale platila to 12-krát ročne. Na konci roka by ste mali 2 613 dolárov. Všeobecná rovnica pre tento postup je:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
kderje 1 a n je platobné obdobie.
Ukázalo sa, že keď sa n priblíži k nekonečnu, výsledok sa bude blížiť a blížiť k e, ktoré je 2,7182818284 na 10 desatinných miest. Takto to objavil Euler. Maximálny výnos, ktorý by ste mohli získať z investície vo výške 1 000 dolárov za jeden rok, by bol 2 718 dolárov.
Eulerovo číslo v prírode
Exponenty s e ako základňou sú známe ako prirodzené exponenty a tu je dôvod. Ak vykreslíte graf z
y = e ^ x
získate krivku, ktorá sa exponenciálne zvyšuje, rovnako ako keby ste zakreslili krivku so základňou 10 alebo akýmkoľvek iným číslom. Avšak krivkar= eXmá dve špeciálne vlastnosti. Pre akúkoľvek hodnotuX, hodnotarrovná sa hodnote sklonu grafu v danom bode a rovná sa tiež ploche pod krivkou až do tohto bodu. Toto robí z e obzvlášť dôležité číslo v kalkulu a vo všetkých oblastiach vedy, ktoré používajú kalkul.
Logaritmická špirála, ktorú predstavuje rovnica
r = ae ^ {bθ}
sa nachádza v celej prírode, v mušliach, fosíliách a kvetoch. Okrem toho sa e objavuje v mnohých vedeckých kontextoch, vrátane štúdií elektrických obvodov, zákonov vykurovania a chladenia a tlmenia pružín. Aj napriek tomu, že bol objavený pred 350 rokmi, vedci stále nachádzajú nové príklady Eulerovho čísla v prírode.