Taylorova séria je numerická metóda predstavovania danej funkcie. Táto metóda má uplatnenie v mnohých technických oblastiach. V niektorých prípadoch, napríklad pri prestupe tepla, vedie diferenciálna analýza k rovnici, ktorá zodpovedá forme Taylorovho radu. Taylorova séria môže tiež predstavovať integrál, ak integrál tejto funkcie neexistuje analyticky. Tieto reprezentácie nie sú presnými hodnotami, ale výpočtom viacerých výrazov v rade bude aproximácia presnejšia.
Vyberte centrum pre sériu Taylor. Toto číslo je ľubovoľné, ale je dobré zvoliť stred, kde je vo funkcii symetria alebo kde hodnota pre stred zjednodušuje matematiku úlohy. Ak počítate Taylorovu sériu reprezentácie f (x) = sin (x), je vhodným stredom a = 0.
Určite počet výrazov, ktoré chcete vypočítať. Čím viac výrazov použijete, tým presnejšia bude vaša reprezentácia, ale keďže Taylorova séria je nekonečná séria, je nemožné zahrnúť všetky možné výrazy. V príklade sin (x) bude použitých šesť výrazov.
Vypočítajte deriváty, ktoré budete pre sériu potrebovať. V tomto príklade musíte vypočítať všetky deriváty až po šiestu deriváciu. Pretože Taylorova séria začína na „n = 0“, musíte zahrnúť „0.“ deriváciu, ktorá je iba pôvodnou funkciou. 0. derivácia = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Vypočítajte hodnotu pre každú deriváciu v strede, ktorý ste si vybrali. Tieto hodnoty budú čitateľmi pre prvých šesť volebných období Taylorovho radu. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Pomocou výpočtov derivácie a stredu určte pojmy Taylorovho radu. 1. volebné obdobie; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 druhé volebné obdobie; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. volebné obdobie; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. volebné obdobie; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. volebné obdobie; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. volebné obdobie; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylorova séria pre hriech (x): hriech (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Zrušte nulové členy v rade a výraz zjednodušte algebraicky, aby ste určili zjednodušené znázornenie funkcie. Bude to úplne iná séria, takže hodnoty pre „n“ použité predtým už nebudú platiť. hriech (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Pretože znamienka sa striedajú medzi kladnými a zápornými, prvou zložkou zjednodušenej rovnice musí byť (-1) ^ n, pretože v rade nie sú párne čísla. Výsledkom výrazu (-1) ^ n je záporné znamienko, keď n je nepárne, a kladné znamienko, keď n je párne. Sériové zastúpenie nepárnych čísel je (2n + 1). Keď n = 0, tento pojem sa rovná 1; keď n = 1, tento pojem sa rovná 3 a tak ďalej do nekonečna. V tomto príklade použite túto reprezentáciu pre exponenty x a faktoriály v menovateli
Použite znázornenie funkcie namiesto pôvodnej funkcie. Pre pokročilejšie a zložitejšie rovnice môže Taylorova séria urobiť neriešiteľnú rovnicu riešiteľnou alebo aspoň poskytnúť rozumné numerické riešenie.