V matematike je prevrátená hodnota čísla číslo, ktoré po vynásobení pôvodným číslom vytvorí 1. Napríklad prevrátená hodnota pre premennú x je 1 /X, pretože
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
V tomto príklade 1 /Xje vzájomná identitaX, a naopak. V trigonometrii možno jeden z uhlov iných ako 90 stupňov v pravom trojuholníku definovať pomocou pomerov nazývaných sínus, kosínus a dotyčnica. Použitím konceptu recipročných identít matematici definujú ďalšie tri pomery. Ich názvy sú kosekans, sekans a kotangens. Cosecant je vzájomná identita sínusu, druhá kosínusová a kotangensová tangenta.
Ako určiť vzájomnú identitu
Zvážte uholθ, ktorý je jedným z dvoch ne 90-stupňových uhlov v pravom trojuholníku. Ak je dĺžka strany trojuholníka oproti uhlu „b„dĺžka strany susediacej s uhlom a oproti preponám je“a„a dĺžka prepony je“r„môžeme definovať tri primárne trigonometrické pomery z hľadiska týchto dĺžok.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangenta} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Vzájomná identita hriechuθsa musí rovnať 1 / sin θ, pretože to je číslo, ktoré sa vynásobí hriechomθ, vyrába 1. To isté platí pre cosθa opaľovať saθ. Matematici dajú týmto recipročným menám názvy kosekans, secanty a kotangenty. Podľa definície:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangens} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Tieto vzájomné identity môžete definovať z hľadiska dĺžok strán pravého trojuholníka takto:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Nasledujúce vzťahy platia pre akýkoľvek uholθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Dve ďalšie trigonometrické identity
Ak poznáte sínus a kosínus uhla, môžete odvodiť dotyčnicu. To je pravda, pretože
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {a} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, so} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Pretože toto je definícia tan θ, nasleduje nasledujúca identita, známa ako kvocientná identita:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Pytagorova identita vyplýva zo skutočnosti, že pre každý pravý trojuholník so stranamiaaba preponar, platí toto:a2 + b2 = r2. Po preusporiadaní výrazov a definovaní pomerov sínusom a kosínusom sa dostanete k tomuto výrazu:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Keď do vyššie uvedeného výrazu vložíte recipročné identity pre sínus a kosínus, nasledujú dva ďalšie dôležité vzťahy:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ