Väčšina ľudí si pamätáPytagorova vetaod geometrie pre začiatočníkov - je to klasika. Je to
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
kdea, bacsú strany pravého trojuholníka (cje prepona). Túto vetu možno prepísať aj na trigonometriu!
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Pytagorovej identity sú rovnice, ktoré píšu Pytagorovu vetu z hľadiska trigových funkcií.
HlavnýPytagorovej identitysú:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ cot ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pytagorejské identity sú príkladmitrigonometrické identity: rovnosti (rovnice), ktoré používajú trigonometrické funkcie.
Prečo na tom záleží?
Pytagorejské identity môžu byť veľmi užitočné na zjednodušenie komplikovaných trig-príkazov a rovníc. Zapamätajte si ich teraz a môžete si ušetriť veľa času na ceste!
Dôkaz o použití definícií trigových funkcií
Tieto identity sú celkom jednoduché na preukázanie, ak sa zamyslíte nad definíciami trig funkcií. Napríklad to dokážme
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Pamätajte, že definícia sínusu je opačná strana / prepona a že kosínus je priľahlá strana / prepona.
Takže
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {oproti} ^ 2} {\ text {prepona} ^ 2}
A
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {susedné} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Tieto dva môžete ľahko pridať, pretože menovatelia sú rovnakí.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {oproti} ^ 2 + \ text {susedné} ^ 2} {\ text {prepona} ^ 2}
Teraz sa znovu pozrite na Pytagorovu vetu. To hovoría2 + b2 = c2. Pamätajte na toaab- stojí na opačnej a susedných stranách a -cznamená prepona.
Rovnicu môžete usporiadať vydelením oboch stránc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Odkedya2 ab2 sú opačné a susedné strany ac2 je prepona, máte ekvivalentné vyhlásenie k vyššie uvedenému, s (oproti2 + susedné2) / prepona2. A to vďaka práci sa, b, ca Pytagorovu vetu, teraz môžete vidieť, že tento výrok sa rovná 1!
Takže
\ frac {\ text {oproti} ^ 2 + \ text {susedné} ^ 2} {\ text {prepona} ^ 2} = 1
a preto:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(A je lepšie to správne vypísať: hriech2(θ) + cos2(θ) = 1).
Recipročné identity
Poďme sa na pár minút pozrieť navzájomné identitytiež. Pamätajte, žeobojstrannýje číslo vydelené („nad“) vašim číslom - známe tiež ako inverzné.
Pretože kosekans je prevrátený sínus:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Môžete tiež uvažovať o kosekante pomocou definície sínusu. Napríklad sine = opačná strana / prepona. Jeho inverznou hodnotou bude zlomok otočený naopak, čo je prepona / opačná strana.
Obdobne je kosínový recipročný index sečnaný, takže je definovaný ako
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {alebo} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {susedná strana}}
A recipročná tangenta je kotangensová, takže
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {susedná strana}} {\ text {opačná strana}}
Dôkazy pytagorejskej identity pomocou sekans a kosekans sú veľmi podobné tým, ktoré platia pre sínus a kosínus. Rovnice môžete odvodiť aj pomocou „rodičovskej“ rovnice, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Vydeľte obe strany znakom cos2(θ) na získanie identity 1 + opálenie2(θ) = sek2(θ). Rozdeľte obe strany hriechom2(θ) pre získanie identity 1 + detská postieľka2(θ) = csc2(θ).
Veľa šťastia a nezabudnite si zapamätať tri pytagorejské identity!