Zaujímalo vás niekedy, ako súvisia trigonometrické funkcie ako sínus a kosínus? Používajú sa na výpočet strán a uhlov v trojuholníkoch, ale vzťah ide ďalej.Identity spoluprácedajte nám konkrétne vzorce, ktoré ukazujú, ako prevádzať medzi sínusom a kosínusom, tangensom a kotangensom a secantom a kosekansanom.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Sínus uhla sa rovná kosínu jeho doplnku a naopak. Platí to aj pre ďalšie funkcie.
Ľahký spôsob, ako si zapamätať, ktoré funkcie sú kofunkčné, sú dve spúšťacie funkciefunkcieak má jeden z nich predponu „co-“. Takže:
- sínus aspolsínus súspolfunkcie.
- dotyčnica aspoldotyčnice súspolfunkcie.
- sekán aspolsecant súspolfunkcie.
Pomocou tejto definície môžeme medzi kofunkciami vypočítať tam a späť: Hodnota funkcie uhla sa rovná hodnote kofunkcie komplementu.
To znie komplikovane, ale namiesto toho, aby sme hovorili o hodnote funkcie všeobecne, použijeme konkrétny príklad. Thesínusuhla sa rovnákosínusjeho doplnku. To isté platí aj pre ďalšie funkcie: Tangenta uhla sa rovná kotangensu jeho doplnku.
Pamätajte: Dva uhly súdoplnkovak pridajú až 90 stupňov.
Kofunkčné identity v stupňoch:
(Všimnite si, že 90 ° -Xdáva nám doplnok uhla.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ detská postieľka (90 ° - x) \\ \ detská postieľka (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Kofunkčné identity v radiánoch
Pamätajte, že môžeme napísať veci aj v zmysleradiány, čo je jednotka SI na meranie uhlov. Deväťdesiat stupňov je to isté ako π / 2 radiány, takže môžeme tiež napísať kofunkčné identity takto:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Dôkaz kofunkčných identít
To všetko znie pekne, ale ako môžeme dokázať, že je to pravda? Ak si to sami vyskúšate na niekoľkých príkladoch trojuholníkov, môžete si tým byť istí, ale existuje aj prísnejší algebraický dôkaz. Poďme dokázať kofunkčné identity pre sínus a kosínus. Budeme pracovať v radiánoch, ale je to to isté ako s používaním stupňov.
Dôkaz:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Najskôr sa vráťte späť do svojej pamäte k tomuto vzorcu, pretože ho použijeme v našom dôkaze:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Mám to? Ok. Teraz dokážme: hriech (X) = cos (π / 2 - x).
Môžeme prepísať cos (π / 2 -X) Páči sa ti to:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( X)
pretože vieme
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {a} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Takže
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Teraz to dokážme pomocou kosínusu!
Dôkaz:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Ďalší výbuch z minulosti: Pamätáte si tento vzorec?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Chystáme sa to použiť. Teraz dokážme:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Môžeme prepísať hriech (π / 2 -X) Páči sa ti to:
\ begin {zarovnané} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {zarovnané}
pretože vieme
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {a} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Takže máme
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Funkčná kalkulačka
Vyskúšajte niekoľko príkladov, ako pracovať s kofunkciami na vlastnú päsť. Ale ak sa zaseknete, Math Celebrity má kalkulačku funkcií, ktorá zobrazuje podrobné riešenia problémov pri spolupráci.
Šťastné počítanie!
