V matematike sa na vyvrátenie tvrdenia používa protiklad. Ak chcete dokázať, že tvrdenie je pravdivé, musíte napísať dôkaz, ktorým preukážete, že je vždy pravdivý; uvedenie príkladu nestačí. V porovnaní s napísaním dôkazu je napísanie protikladu omnoho jednoduchšie; Ak chcete preukázať, že tvrdenie nie je pravdivé, stačí uviesť jeden príklad scenára, v ktorom je tvrdenie nepravdivé. Väčšina protipříkladov v algebre zahŕňa numerické manipulácie.
Dve triedy matematiky
Korektúry a hľadanie protipříkladov sú dve zo základných tried matematiky. Väčšina matematikov sa pri vývoji nových viet a vlastností zameriava na korektúry. Ak tvrdenia alebo dohady nemožno dokázať ako pravdivé, matematici ich vyvrátia poskytnutím protipříkladov.
Protiklady sú konkrétne
Namiesto použitia premenných a abstraktných zápisov môžete argumenty vyvrátiť pomocou číselných príkladov. V algebre väčšina protikladov zahrnuje manipuláciu s rôznymi kladnými a zápornými alebo nepárnymi a párnymi číslami, extrémne prípady a špeciálne čísla ako 0 a 1.
Jeden protiklad je dostatočný
Filozofia protipříkladu je taká, že ak v jednom scenári výrok neplatí, potom je výrok nepravdivý. Nematematickým príkladom je „Tom nikdy neklamal.“ Aby ste preukázali, že tento výrok je pravdivý, musíte poskytnúť „dôkaz“, že Tom nikdy nepovedal lož, a to sledovaním všetkých jeho výrokov. Na vyvrátenie tohto tvrdenia však musíte preukázať iba jednu lož, ktorú Tom kedy povedal.
Slávne protiklady
„Všetky prvočísla sú nepárne.“ Aj keď sú takmer všetky prvočísla vrátane všetkých prvočísel nad 3 nepárne, „2“ je prvočíslo, ktoré je párne; toto tvrdenie je nepravdivé; „2“ je príslušný protiklad.
„Odčítanie je komutatívne.“ Sčítanie aj násobenie je komutatívne - je možné ich vykonať v ľubovoľnom poradí. To znamená, že pre akékoľvek reálne čísla a a b, a + b = b + a a * b = b * a. Odčítanie však nie je komutatívne; protiklad, ktorý to dokazuje: 3 - 5 sa nerovná 5 - 3.
„Každá spojitá funkcia je diferencovateľná.“ Absolútna funkcia | x | je spojitý pre všetky kladné a záporné čísla; ale nie je diferencovateľné na x = 0; od | x | je spojitá funkcia, tento protiklad dokazuje, že nie každá spojitá funkcia je diferencovateľná.
