Как решить уравнение квадратного корня

Квадратный корень из числа - это значение, которое при умножении на себя дает исходное число. Например, квадратный корень из 0 равен 0, квадратный корень из 100 равен 10, а квадратный корень из 50 равен 7,071. Иногда вы можете вычислить или просто вспомнить квадратный корень из числа, которое само по себе является «точным квадратом», который является произведением целого числа, умноженного на само себя; По мере того, как вы продвигаетесь в учебе, вы, вероятно, составите в уме список этих чисел (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Проблемы, связанные с квадратными корнями, незаменимы в инженерии, математике и практически во всех сферах современного мира. Хотя вы можете легко найти калькуляторы уравнения квадратного корня в Интернете (см. Пример в разделе Ресурсы), решение уравнений квадратного корня является важным навыки в алгебре, потому что это позволяет вам познакомиться с использованием радикалов и работать с рядом типов задач за пределами области квадратных корней как таковой.

Тот факт, что умножение двух отрицательных чисел вместе дает положительное число, важен в мире квадратных корней, потому что он подразумевает что положительные числа на самом деле имеют два квадратных корня (например, квадратные корни из 16 равны 4 и −4, даже если только первое интуитивно понятно). Точно так же отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней, потому что не существует действительного числа, которое принимает отрицательное значение при умножении на себя. В этой презентации отрицательный квадратный корень из положительного числа будет проигнорирован, так что «квадратный корень из 361» можно принять как «19», а не «-19 и 19».

Кроме того, при попытке оценить значение квадратного корня, когда под рукой нет калькулятора, важно понимать, что функции, включающие квадрат и квадратный корень, не являются линейными. Вы увидите больше об этом в разделе о графиках позже, но в качестве грубого примера вы уже заметили, что квадратный корень из 100 равен 10, а квадратный корень из 0 равен 0. На первый взгляд это может привести вас к предположению, что квадратный корень для 50 (который находится на полпути между 0 и 100) должен быть 5 (который находится на полпути между 0 и 10). Но вы также уже узнали, что квадратный корень из 50 равен 7,071.

Наконец, вы, возможно, усвоили идею, что умножение двух чисел вместе дает число больше самого себя, подразумевая, что квадратные корни чисел всегда меньше исходного номер. Это не тот случай! Числа от 0 до 1 также имеют квадратные корни, и в любом случае квадратный корень больше исходного числа. Проще всего это показать с помощью дробей. Например, 16/25 или 0,64 имеет полный квадрат как в числителе, так и в знаменателе. Это означает, что квадратный корень из дроби - это квадратный корень из его верхней и нижней составляющих, который равен 4/5. Это равно 0,80, то есть больше, чем 0,64.

"Квадратный корень изИкс"обычно пишется с использованием так называемого радикального знака или просто радикала (√). Таким образом, для любогоИкс​:

представляет собой квадратный корень. Переворачивая это, квадрат числаИксзаписывается с использованием показателя степени 2 (Икс​²). Экспоненты берут верхние индексы в текстовых редакторах и связанных приложениях, и их также называют степенями. Поскольку радикальные знаки не всегда легко изготовить по запросу, можно использовать другой способ написать «квадратный корень изИкс"- использовать показатель степени:

Это, в свою очередь, является частью общей схемы:

означает "поднятьИкск властиу, затем возьмите 'z"корень этого".Икс​^1/2 таким образом означает "поднятьИксв первую степень, которая простоИксснова, а затем возьмите из него 2 корня или квадратный корень ".Икс​^(5/3) означает "поднятьИксв степени 5, затем найдите корень третьей степени (или кубический корень) результата ".

Радикалы могут использоваться для обозначения корней, кроме квадратного корня 2. Это делается простым добавлением надстрочного индекса в верхнем левом углу радикала.

тогда представляет то же число, что иИкс​^(5/3) из предыдущего абзаца делает.

Большинство квадратных корней - иррациональные числа. Это означает, что они не только нехорошие, аккуратные целые числа (например, 1, 2, 3, 4.. .), но они также не могут быть выражены в виде аккуратного десятичного числа, которое заканчивается без округления. Рациональное число можно выразить дробью. Таким образом, хотя 2,75 не является целым числом, это рациональное число, потому что это то же самое, что и дробь 11/4. Ранее вам сказали, что квадратный корень из 50 равен 7,071, но на самом деле он округляется от бесконечного числа десятичных знаков. Точное значение √50 равно 5√2, и вы скоро увидите, как это определяется.

Вы уже видели, что уравнения с квадратными корнями и квадратными корнями нелинейны. Один из простых способов запомнить это - это то, что графики решений этих уравнений не являются линиями. Это имеет смысл, потому что если, как уже отмечалось, квадрат 0 равен 0, а квадрат 10 равен 100, но квадрат из 5 не 50, график, полученный в результате простого возведения числа в квадрат, должен изгибаться к правильному значения.

Так обстоит дело с графиком

в этом вы сами можете убедиться, посетив калькулятор в Ресурсах и изменив параметры. Линия проходит через точку (0,0), а y не опускается ниже 0, чего и следовало ожидать, потому что вы знаете, чтоИкс​² никогда не бывает отрицательным. Вы также можете видеть, что график симметричен относительноу-axis, что также имеет смысл, потому что каждый положительный квадратный корень заданного числа сопровождается отрицательным квадратным корнем равной величины. Следовательно, за исключением 0, каждыеузначение на графикеу​ = ​Икс​² связан с двумяИкс-значения.

Один из способов решить основные проблемы с квадратным корнем вручную - это искать идеальные квадраты, «спрятанные» внутри проблемы. Во-первых, важно знать несколько жизненно важных свойств квадратов и квадратных корней. Одна из них заключается в том, что, как и √Икс​² просто равноИкс(потому что радикал и показатель степени взаимно компенсируют друг друга):

То есть, если у вас есть идеальный квадрат под радикалом, умножающим другое число, вы можете «вытащить его» и использовать его как коэффициент оставшегося. Например, возвращаясь к квадратному корню из 50

Иногда вы можете получить число, состоящее из квадратных корней, которое выражается в виде дроби, но все же является иррациональным числом, потому что знаменатель, числитель или оба содержат радикал. В таких случаях вас могут попросить рационализировать знаменатель. Например, число

имеет радикал как в числителе, так и в знаменателе. Но внимательно изучив цифру "45", вы можете распознать ее как произведение 9 и 5, что означает, что

Следовательно, дробь можно записать

Радикалы нейтрализуют друг друга, и остается 6/3 = 2.