Как только вы начнете решать алгебраические уравнения, включающие многочлены, способность распознавать специальные, легко вычисляемые формы многочленов становится очень полезной. Один из наиболее полезных многочленов, которые можно легко определить, - это идеальный квадрат или трехчлен, полученный в результате возведения в квадрат двучлена. После того, как вы определили идеальный квадрат, разложение его на отдельные компоненты часто становится жизненно важной частью процесса решения проблемы.
Прежде чем вы сможете разложить на множители идеальный квадратный трехчлен, вы должны научиться его распознавать. Идеальный квадрат может принимать любую из двух форм.
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, который является произведением} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, который является произведением} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Отметьте первое и третье члены трехчлена. Они оба квадраты? Если да, выясните, из чего они состоят. Например, во втором примере "реального мира", приведенном выше:
у ^ 2 - 2у + 1
термину2 очевидно, квадрату.Член 1, возможно, менее очевидно, представляет собой квадрат 1, потому что 12 = 1.
Умножьте корни первого и третьего членов вместе. Чтобы продолжить пример, этоуи 1, что дает ваму × 1 = 1уили простоу.
Затем умножьте полученное произведение на 2. Продолжая пример, у вас есть 2у.
Наконец, сравните результат последнего шага со средним членом многочлена. Они совпадают? В полиномеу2 – 2у+1, да. (Знак не имеет значения; это также было бы совпадением, если бы средний член был +2у.)
Поскольку ответ на шаге 1 был «да», а ваш результат на шаге 2 соответствует среднему члену полинома, вы знаете, что смотрите на трехчлен в виде полного квадрата.
Как только вы узнаете, что смотрите на идеальный квадратный трехчлен, процесс разложения на множители будет довольно простым.
Определите корни или возводимые в квадрат числа в первом и третьем членах трехчлена. Рассмотрим еще один пример трехчлена, который, как вы уже знаете, представляет собой идеальный квадрат:
х ^ 2 + 8х + 16
Очевидно, что число, возведенное в квадрат в первом члене, равноИкс. Число, возведенное в квадрат в третьем члене, равно 4, потому что 42 = 16.
Вернитесь к формулам для точных квадратных трехчленов. Вы знаете, что ваши факторы будут иметь форму (а + б)(а + б) или форма (а – б)(а – б), гдеаа такжеб- числа, возводимые в квадрат в первом и третьем членах. Итак, вы можете записать свои множители таким образом, опуская пока знаки в середине каждого термина:
(а \,? \, Ь) (а \,? \, Ь) = а ^ 2 \,? \, 2ab + Ь ^ 2
Чтобы продолжить пример, подставив корни вашего текущего трехчлена, у вас есть:
(х \,? \, 4) (х \,? \, 4) = х ^ 2 + 8x + 16
Отметьте средний член трехчлена. Есть ли у него положительный или отрицательный знак (или, говоря другими словами, он добавляется или вычитается)? Если он имеет положительный знак (или добавляется), то оба множителя трехчлена имеют знак плюса посередине. Если он имеет отрицательный знак (или вычитается), оба фактора имеют отрицательный знак посередине.
Средний член трехчлена текущего примера равен 8.Икс- это положительно - теперь вы разложили на множители идеальный квадратный трехчлен:
(х + 4) (х + 4) = х ^ 2 + 8x + 16
Проверьте свою работу, умножив два фактора вместе. Применение метода FOIL или first, external, inner, last дает вам:
х ^ 2 + 4х + 4х + 16
Упрощение дает результатИкс2 + 8Икс+16, что соответствует вашему трехчлену. Итак, факторы верны.