Математические функции - мощные инструменты для бизнеса, инженерии и науки, поскольку они могут действовать как миниатюрные модели явлений реального мира. Чтобы понять функции и отношения, вам нужно немного углубиться в такие понятия, как множества, упорядоченные пары и отношения. Функция - это особый вид отношения, имеющий только одноузначение для данногоИксзначение. Существуют и другие виды отношений, которые выглядят как функции, но не соответствуют строгому определению.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Отношение - это набор чисел, организованных в пары. Функция - это особый вид отношения, имеющий только одноузначение для данногоИксзначение.
Множества, упорядоченные пары и отношения
Для описания отношений и функций полезно сначала обсудить множества и упорядоченные пары. Вкратце, набор чисел - это их набор, обычно заключенный в фигурные скобки, например {15,1, 2/3} или {0, .22}. Обычно вы определяете набор с помощью правила, такого как все четные числа от 2 до 10 включительно: {2,4,6,8,10}.
Набор может иметь любое количество элементов или вообще не иметь, то есть нулевой набор {}. Упорядоченная пара - это группа из двух чисел, заключенных в круглые скобки, например (0,1) и (45, −2). Для удобства первое значение в упорядоченной паре можно назватьИксзначение, а второй -узначение. Отношение объединяет упорядоченные пары в набор. Например, множество {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} является отношением. Вы можете построитьИкса такжеузначения отношения на графике с помощьюИкса такжеутопоры.
Отношения и функции
Функция - это отношение, в котором любое данноеИксзначение имеет только одно соответствующееузначение. Вы можете подумать, что с упорядоченными парами каждаяИксесть только одинустоимость в любом случае. Однако в примере отношения, приведенном выше, обратите внимание, чтоИксзначения 1 и 2 имеют два соответствующихузначения 0 и 5 и 10 и 15 соответственно. Это отношение не является функцией. Правило придает функциональному отношению определенность, которой в противном случае не существовало бы, с точки зренияИксзначения. Вы можете спросить, когдаИксравно 1, что такоеузначение? Для приведенного выше отношения вопрос не имеет однозначного ответа; это может быть 0, 5 или оба.
Теперь рассмотрим пример отношения, которое является истинной функцией: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. ВИксзначения нигде не повторяются. В качестве другого примера рассмотрим {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Некоторыйузначения повторяются, но это не нарушает правила. Вы все еще можете сказать, что когда значениеИксравно 0,уопределенно 5.
Графические функции: тест вертикальной линии
Вы можете определить, является ли отношение функцией, нанеся числа на график и применив тест вертикальной линии. Если ни одна вертикальная линия, проходящая через график, не пересекает его более чем в одной точке, отношение является функцией.
Функции как уравнения
Написание набора упорядоченных пар в виде функции является простым примером, но быстро становится утомительным, если у вас более нескольких чисел. Чтобы решить эту проблему, математики пишут функции в виде уравнений, например
у = х ^ 2 - 2х + 3
Используя это компактное уравнение, вы можете сгенерировать столько упорядоченных пар, сколько захотите: подставьте разные значения дляИкс, сделай математику и получи свойузначения.
Использование функций в реальном мире
Многие функции служат математическими моделями, позволяя людям понять детали явлений, которые в противном случае остались бы загадочными. Рассмотрим простой пример. Уравнение расстояния для падающего объекта:
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
гдетвремя в секундах, играммускорение свободного падения. Подключите 9,8 для земной силы тяжести в метрах в секунду в квадрате, и вы сможете найти расстояние, на которое упал объект, в любое время. Обратите внимание, что при всей своей полезности модели имеют ограничения. Уравнение примера хорошо подходит для падения стального шара, но не пера, потому что воздух замедляет падение пера.