Как решать системы уравнений с помощью графиков

Системы уравнений могут помочь решить реальные вопросы во всех областях, от химии до бизнеса и спорта. Их решение важно не только для ваших оценок по математике; это может сэкономить вам много времени, пытаетесь ли вы ставить цели для своего бизнеса или своей спортивной команды.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Чтобы решить систему уравнений путем построения графиков, нанесите каждую линию на одну и ту же координатную плоскость и посмотрите, где они пересекаются.

Например, представьте, что вы и ваш друг устанавливаете киоск с лимонадом. Вы решаете разделять и побеждать, поэтому ваш друг идет на баскетбольную площадку по соседству, а вы остаетесь на углу улицы своей семьи. В конце дня вы объединяете свои деньги. Вместе вы заработали 200 долларов, но ваш друг заработал на 50 долларов больше, чем вы. Сколько денег заработал каждый из вас?

Или подумайте о баскетболе: удары, выполненные за пределами трехочковой линии, приносят 3 очка, корзины, сделанные внутри трехочковой линии, приносят 2 очка, а штрафные броски приносят только 1 очко. Ваш противник опережает вас на 19 очков. Какие комбинации корзин вы могли бы составить, чтобы наверстать упущенное?

Построение графиков - один из простейших способов решения систем уравнений. Все, что вам нужно сделать, это нанести обе линии на одну и ту же координатную плоскость, а затем посмотреть, где они пересекаются.

Во-первых, вам нужно записать слово «проблема» в виде системы уравнений. Присвойте переменные неизвестным. Назовите деньги, которые вы зарабатываетеY, и деньги, которые зарабатывает твой другF​.

Теперь у вас есть два вида информации: информация о том, сколько денег вы вместе заработали, и информация о том, как деньги, которые вы заработали, по сравнению с деньгами, заработанными вашим другом. Каждый из них станет уравнением.

Для первого уравнения напишите:

так как ваши деньги плюс деньги вашего друга в сумме составляют 200 долларов.

Затем напишите уравнение, чтобы описать сравнение ваших доходов.

потому что заработанная вами сумма на 50 долларов меньше заработка вашего друга. Вы также можете записать это уравнение какY​ + 50 = ​F, поскольку ваш заработок плюс 50 долларов равен тому, что заработал ваш друг. Это разные способы написать одно и то же, и ваш окончательный ответ не изменится.

Итак, система уравнений выглядит так:

Затем вам нужно изобразить оба уравнения на одной и той же координатной плоскости. График вашей суммы,Y, нау-аксис и сумма вашего друга,F, наИкс-axis (на самом деле не имеет значения, какая из них, если вы правильно их пометили). Вы можете использовать миллиметровую бумагу и карандаш, портативный графический калькулятор или онлайн-калькулятор.

Сейчас одно уравнение находится в стандартной форме, а другое - в форме пересечения наклона. Это не обязательно проблема, но для единообразия приведите оба уравнения в форму пересечения наклона.

Итак, для первого уравнения преобразуйте стандартную форму в форму с пересечением наклона. Это означает решение дляY; другими словами, получитьYсам по себе слева от знака равенства. Так вычтитеFс обеих сторон:

Помните, что в форме пересечения угла наклона число перед буквой F - это наклон, а константа - точка пересечения по оси y.

Чтобы построить график первого уравнения,Y​ = −​F+ 200, нарисуйте точку в (0, 200), а затем используйте наклон, чтобы найти больше точек. Наклон равен -1, поэтому спуститесь на одну единицу и еще на одну единицу и нарисуйте точку. Это создает точку в (1, 199), и если вы повторите процесс, начиная с этой точки, вы получите еще одну точку в (2, 198). Это крошечные движения на большой линии, поэтому нарисуйте еще одну точку наИкс-intercept, чтобы убедиться, что в конечном итоге у вас все хорошо отрисовано. ЕслиY= 0, тоFбудет 200, поэтому нарисуйте точку в (200, 0).

Чтобы построить график второго уравнения,Y​ = ​F- 50, используйте точку пересечения оси y −50, чтобы нарисовать первую точку в (0, −50). Поскольку наклон равен 1, начните с (0, -50), а затем поднимитесь на одну единицу и более на одну единицу. Это ставит вас на (1, -49). Повторите процесс, начиная с (1, -49), и вы получите третью точку в (2, -48). Опять же, чтобы убедиться, что вы делаете что-то аккуратно на больших расстояниях, перепроверьте себя, также рисуяИкс-перехват. КогдаY​ = 0, ​Fбудет 50, поэтому также нарисуйте точку в (50, 0). Проведите аккуратную линию, соединяющую эти точки.

Внимательно посмотрите на свой график, чтобы увидеть, где пересекаются две линии. Это будет решение, потому что решение системы уравнений - это точка (или точки), которые делают оба уравнения истинными. На графике это будет выглядеть как точка (или точки) пересечения двух линий.

В этом случае две прямые пересекаются в точках (125, 75). Итак, решение в том, что ваш друг (Икс-координата) составила 125 долларов, а вы (у-координата) составила 75 долларов.

Быстрая проверка логики: есть ли в этом смысл? Вместе эти два значения в сумме дают 200, а 125 - это 50 больше, чем 75. Звучит неплохо.

В этом случае была ровно одна точка, где пересекались две линии. Когда вы работаете с системами уравнений, есть три возможных результата, и каждый будет выглядеть на графике по-разному.

• Если в системе есть одно решение, линии будут пересекаться в одной точке, как в примере.
• Если у системы нет решений, линии никогда не пересекутся. Они будут параллельны, что с алгебраической точки зрения означает, что они будут иметь одинаковый наклон.
• Система также может иметь бесконечное количество решений, что означает, что ваши «две» линии на самом деле являются одной и той же линией. Таким образом, у них будет все общее, а это бесконечное количество решений.