Концепция чего-либособственные значениянеясен, но очень удобен для математиков и физиков, сталкивающихся с некоторыми интересными проблемами.
Чтобы понять собственное значение, представьте, что у вас есть функция (например,у = Икс2 + 6Икс, или жеу= журнал 4Икс), который вы могли бы выполнить через какой-то процесс, чтобы результат был таким же, как при умножении всей функции на постоянное значение. Такая функция будет квалифицироваться каксобственная функция, а константа будет собственным значением.
- «Eigen» в переводе с немецкого означает «то же самое».
Чтобы лучше понять собственные значения и собственные функции, а также уметь вычислять собственные значения, вам необходимо базовое понимание матриц. Эти математические приемы используются, чтобы определить, скажем, порядок облигаций NO.2 (диоксид азота) и другие молекулы, потому что поведение электронов в атомах определяется волновыми функциями, которые квалифицируются как собственные.
Что такое матрица?
Матрица - это массив чисел, упорядоченных по строкам и столбцам, которые могут быть от 1 до
п. Размеры матриц даны построчно; например, это матрица 2 на 3:\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Матрицы можно складывать вместе, если они одного размера (т. Е. Имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов). Их также можно перемножать пошагово при тех же условиях. Кроме того, любую матрицу можно умножить на вектор, который является размером 1 напили жепматрица размером 1; это включает и другие векторы.
Что такое уравнение на собственные значения?
Скажите, что у вас естьп-от-пили "квадратная" матрицаА, ненулевойп-by-1 векторv, и скалярλ, такое, что выполняется следующее уравнение:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Любое значениеλдля которого это уравнение имеет решение, называется собственным значением матрицыА.
Не позволяйте своему разуму относиться к приведенным выше выражениям как к продукту.Аявляетсяоператорна или линейное преобразование вектораv, это вычисление возможно только потому, чтоАа такжеvкак естьпряды.
Зачем использовать функции собственных значений?
Вывод сложен, но в атомной химии оператор Гамильтона "H-bar" используется для выражения кинетической и потенциальной энергии системы:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Это используется для записи формыУравнение волновой функции Шредингерав квантовой механике:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
ЗдесьEпредставляет собственные значения, удовлетворяющие этому уравнению.
Способы нахождения собственных значений матрицы
Из уравнения Av = λv получаемА v − λv=0. Это ведет к:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
Гдеяпредставляет собой единичную матрицу 2 на 2 со строками [λ0] и [0λ], что приводит к 1 при умножении на скалярλ. Этот результат дает:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Что еслиvотличен от нуля, имеет решение только в том случае, если абсолютное значениеА− λя, или |А − λя|, равно нулю. Если вы сделаете это вручную, это потребует решения квадратного уравнения и может быть утомительным.
Чтобы умножить две матрицы вместе, для каждой точки в матрице продукта вы умножаете соответствующие точки вместе. и добавьте это к продуктам оставшихся элементов строки и столбца в строке и столбце, к которым новая точка принадлежит.
При умножении двух матриц 2 на 2Аа такжеBвместе, если первый рядАэто [1 3], а первый столбецBравно [2 5], число в первом столбце и строке новой матрицы будет [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, и, соответственно, для остальных трех точек.
Вычислить собственные значения онлайн
В разделе «Ресурсы» вы найдете инструмент вычисления матриц, который позволяет вам находить собственные значения и многое другое для матрицы практически любого мыслимого размера.