Линейные уравнения (уравнения, графики которых представляют собой линию) могут быть записаны в нескольких форматах, ностандартная формалинейного уравнения выглядит так:
Ax + By = C
А, Bа такжеCможет быть любым числом, включая отрицательные числа, ноль и единицу! Итак, примеры стандартной формы могут выглядеть так:
3х + 7у = 10
гдеА = 3, B= 7 иC = 10.
Или они могут выглядеть так:
х + 5у = 6
В таком случае,А = 1, B= 5 иC = 6.
Или это:
8y = 9
В таком случае,А= 0, поэтомуИксне появляется в уравнении.B= 8 иC= 9, как и следовало ожидать.
И еще одно:
3x - 5y = 12
Здесь,А = 3, B= −5 иC= 12. Обратите внимание, что в этом случаеBотрицательная пятерка!
Стандартная форма линейного уравнения:Топор + От = C, гдеА, Bа такжеCможет быть любым числом.
Почему стандартная форма полезна
Стандартная форма отлично подходит для поискаИкса такжеуперехватываетграфика, то есть точка, в которой график пересекаетИкс-ось и точка пересеченияу-ось. Кроме того, при решении систем уравнений - нахождении точки пересечения двух или более функций - уравнения часто записываются в стандартной форме.
Превращение уравнения в стандартную форму
Вы можете преобразовать уравнение, написанное в других форматах, в стандартную форму. Вы также можете написать уравнение в стандартной форме, если вам даны только две точки на линии, хотя самый простой способ сделать это - сначала просмотреть другие форматы. В следующем примере мы расскажем, как сделать обе эти вещи: написать уравнение в стандартной форме, когда вам даны только две точки, и преобразовать другие форматы уравнений в стандартную форму.
Пример: возьмите эти две точки: (1,1) и (2,3) и запишите уравнение прямой в стандартной форме.
Мы собираемся пройти следующие шаги:
- Найдите уклон.
- Запишите уравнение в форме точечного уклона.
- Превратите уравнение в форму пересечения наклона.
- Превратите уравнение в стандартную форму.
Всклоннасколько крута наша линия. С алгебраической точки зрения это изменениеуделится на изменениеИкс. Если у нас есть две точки, (Икс1, у1) а также (Икс2, у2) наклон равен:
\ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
В нашем примере точки (1,1) и (2,3), поэтому наклон равен:
\ begin {align} \ text {slope} & = \ frac {3-1} {2-1} \\ \, \\ & = \ frac {2} {1} = 2 \ end {align}
Помни этоточечно-наклонная формавыглядит так:
у - у_1 = м (х - х_1).
Икса такжеуэто просто наши переменные, ноИкс1 а такжеу1 координаты конкретной точки на линии имэто наклон.
Итак, давайте подключим наклон из нашего примера и одну из наших точек (1,1), чтобы создать форму уравнения точка-наклон.
Форма точечного откоса:
у - 1 = 2 (х - 1)
Теперь упростим:
у - 1 = 2х - 2
Форма откоса-пересеченияимеет такой формат:
у = mx + b
гдемнаклон линии ибэтоу-перехват.
Чтобы перейти от формы с точечным уклоном к форме с пересечением уклона, мы хотим получитьусам по себе в левой части уравнения.
Прямо сейчас у нас естьу − 1 = 2Икс− 2. Итак, давайте добавим 1 к обеим сторонам, чтобы мы могли получитьусам по себе:
у = 2х - 1
Когда мы добавили 1 в левую часть, он прервался с -1. Когда мы добавили 1 с правой стороны, мы добавили его к уже существующей константе и получили −2 + 1 = −1.
Помните, что стандартная форма выглядит так:
Ax + By = C
Итак, переместим наши 2Икспо другую сторону от знака равенства путем вычитания 2Иксс обеих сторон:
-2x + y = 2
Когда мы вычли 2Иксна правой стороне он погашен. Когда мы вычитали его слева, мы помещаем его передутак что это в нашей довольно стандартной форме.
Таким образом, стандартная форма этого уравнения равна −2Икс + у= 2, гдеА = −2, B= 1 иC = 2.
Поздравляю! Вы только что превратили уравнение из формы с пересечением наклона в стандартную форму и научились писать уравнение в стандартной форме, используя только две точки.