Уравнение плоскости в трехмерном пространстве может быть записано в алгебраических обозначениях как ax + by + cz = d, где хотя бы одно из постоянные вещественных чисел «a», «b» и «c» не должны быть равны нулю, а «x», «y» и «z» представляют оси трехмерного самолет. Если даны три точки, вы можете определить плоскость с помощью векторных перекрестных произведений. Вектор - это линия в пространстве. Перекрестное произведение - это умножение двух векторов.
Получите три очка на самолете. Обозначьте их "A", "B" и "C." Например, предположим, что эти точки равны A = (3, 1, 1); В = (1, 4, 2); и C = (1, 3, 4).
Найдите два разных вектора на плоскости. В примере выберите векторы AB и AC. Вектор AB идет из точки A в точку B, а вектор AC идет из точки A в точку C. Итак, вычтите каждую координату в точке-A из каждой координаты в точке-B, чтобы получить вектор AB: (-2, 3, 1). Точно так же вектор AC равен точке-C минус точка-A или (-2, 2, 3).
Вычислите перекрестное произведение двух векторов, чтобы получить новый вектор, нормальный (или перпендикулярный, или ортогональный) каждому из двух векторов, а также плоскости. Перекрестное произведение двух векторов, (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3), равно N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). В этом примере произведение N AB и AC равно i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], что упрощается до N = 7i + 4j + 2k. Обратите внимание, что «i», «j» и «k» используются для представления координат вектора.
Выведите уравнение плоскости. Уравнение плоскости: Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, где (a1, a2, a3) - любая точка на плоскости, а (Ni, Nj, Nk ) - вектор нормали, N. В примере с использованием точки C, которая представляет собой (1, 3, 4), уравнение плоскости имеет вид 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, что упрощается до 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 или 7x + 4y + 2z = 27.
Подтвердите свой ответ. Подставьте исходные точки, чтобы проверить, удовлетворяют ли они уравнению плоскости. В заключение примера, если вы подставите любую из трех точек, вы увидите, что уравнение плоскости действительно удовлетворяется.
Советы
См. В разделе Ресурсы советы о том, как использовать системы трех одновременных уравнений для нахождения уравнения плоскости.