Ничто так не портит уравнение, как логарифмы. Они громоздки, ими сложно манипулировать и для некоторых людей они немного загадочны. К счастью, есть простой способ избавить ваше уравнение от этих надоедливых математических выражений. Все, что вам нужно сделать, это помнить, что логарифм - это величина, обратная экспоненте. Хотя основание логарифма может быть любым числом, наиболее распространенными основаниями, используемыми в науке, являются 10 и е, что является иррациональным числом, известным как число Эйлера. Чтобы различать их, математики используют «log», когда основание равно 10, и «ln», когда основание равно e.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Чтобы избавить уравнение от логарифмов, возведите обе части в один и тот же показатель степени, равный основанию логарифмов. В уравнениях со смешанными членами соберите все логарифмы с одной стороны и сначала упростите.
Что такое логарифм?
Понятие логарифма простое, но его немного сложно выразить словами. Логарифм - это количество раз, которое вам нужно умножить на само число, чтобы получить другое число. Другими словами, логарифм - это степень, до которой необходимо возвести определенное число, называемое основанием, для получения другого числа. Степень называется аргументом логарифма.
Например, журнал82 = 64 просто означает, что возведение 8 в степень 2 дает 64. В журнале уравнений Икс = 100, основанием считается 10, и вы можете легко найти аргумент, Икс потому что он отвечает на вопрос: «10 в какой степени равно 100?» Ответ - 2.
Логарифм - это величина, обратная экспоненте. Журнал уравнений Икс = 100 - это еще один способ записи 10_Икс_ = 100. Это соотношение позволяет удалить логарифмы из уравнения, возведя обе части в один и тот же показатель степени, равный основанию логарифма. Если уравнение содержит более одного логарифма, они должны иметь одинаковое основание, чтобы это работало.
Примеры
В простейшем случае логарифм неизвестного числа равен другому числу:
\ журнал х = у
Поднимите обе стороны до 10, и вы получите
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
С 10(журнал x) просто Икс, уравнение принимает вид
х = 10 ^ у
Когда все члены в уравнении являются логарифмами, возведение обеих частей в степень дает стандартное алгебраическое выражение. Например, поднять
\ журнал (х ^ 2-1) = \ журнал (х + 1)
в степень 10, и вы получите:
х ^ 2-1 = х + 1
что упрощает
х ^ 2 - х - 2 = 0.
Решения Икс = −2; Икс = 1.
В уравнениях, которые содержат смесь логарифмов и других алгебраических членов, важно собрать все логарифмы на одной стороне уравнения. Затем вы можете складывать или вычитать термины. Согласно закону логарифмов верно следующее:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Вот процедура решения уравнения со смешанными членами:
Начните с уравнения: например
\ журнал х = \ журнал (х - 2) + 3
Переставьте термины:
\ журнал х - \ журнал (х - 2) = 3
Примените закон логарифмов:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Возвести обе стороны в степень 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Решить для Икс:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2,002