Как упростить рациональные выражения: шаг за шагом

Прежде чем вы начнете упрощать или иным образом манипулировать рациональными выражениями, найдите время, чтобы просмотреть, что само рациональное выражение: дробь с многочленом в числителе и знаменателе. Или, иначе говоря, отношение одного многочлена к другому. После того, как вы определили рациональное выражение, процесс его упрощения сводится к трем шагам.

Процесс упрощения рациональных функций следует довольно простой дорожной карте. Первое, что вы должны сделать, это объединить похожие термины, если вы еще этого не сделали, чтобы помочь вам ясно увидеть многочлены.

Затем разложите каждый многочлен на множители. Иногда все, что вам нужно сделать, это записать каждый термин. Например, ясно, что 4x (который на самом деле является многочленом, хотя он состоит только из одного члена) имеет два фактора: 4 а также Икс. Но с более сложными многочленами ваш лучший инструмент часто - это распознавание шаблонов для определенных типов многочленов, о которых вы уже узнали. Например, если вы внимательно следили за своими формулами, вы могли вспомнить, что многочлен вида

После того, как ваши полиномы полностью разложены на множители, последний шаг - отменить все общие множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе. Результат - ваш упрощенный многочлен.

• Что, если многочлены в вашем рациональном выражении не той формы, которую вы умеете легко разложить на множители? Есть и другие методы, которые вы можете использовать для их разложения, например, завершение квадрата или использование формулы квадратичного уравнения.

Возможно, вы не удивитесь, узнав, что здесь есть небольшая загвоздка. Обычно домен (или набор возможных Икс values) для вашего рационального выражения предполагается набором всех действительных чисел. Но если что-то случится, что знаменатель вашей дроби станет нулевым, результатом будет неопределенная дробь.

Что сделает ваш знаменатель равным нулю? Обычно для выяснения этого достаточно небольшого исследования. Например, если знаменатель вашей дроби был уменьшен до множителей (х + 2) (х - 2), тогда значение Икс = -2 сделает первый множитель равным нулю, а Икс = 2 сделает второй множитель равным нулю.

Таким образом, оба этих значения, -2 и 2, должны быть исключены из области вашего рационального выражения. Обычно вы отмечаете это знаком «не равно» или ≠. Например, если вам нужно исключить -2 и 2 из домена, вы должны написать х ≠ -2, 2.

Теперь, когда вы понимаете процесс упрощения рациональных выражений, пора взглянуть на пару примеров.

Пример 1: Упростите рациональное выражение (Икс² - 4) / (х²+ 4x + 4)

Здесь нет подобных терминов, которые можно комбинировать, поэтому вы можете пропустить этот первый шаг. Затем, зорко и немного потренировавшись, вы заметите, что числитель и знаменатель легко разложить на множители:

(х + 2) (х - 2) / (х + 2) (х + 2)

Возможно, вы также заметите, что (х + 2) является множителем как в числителе, так и в знаменателе. Как только вы отмените общий коэффициент, у вас останется:

(х - 2) / (х + 2)

Вы максимально упростили свое рациональное выражение, но есть еще одна вещь, которую нужно сделать: идентифицировать любые «нули» или корни, которые могут привести к неопределенной дроби, поэтому вы можете исключить их из домен. В этом случае при осмотре легко увидеть, что когда Икс = -2, коэффициент внизу будет равен нулю. Итак, ваше упрощенное рациональное выражение на самом деле:

(х - 2) / (х + 2), х ≠ -2

Пример 2: Упростите рациональное выражение х / (х² - 4 раза)

Сходных терминов для объединения нет, так что вы можете сразу перейти к факторингу, проведя экспертизу. Нетрудно заметить, что вы можете Икс из нижнего члена, что дает вам:

х / х (х - 4)

Вы можете отменить Икс множитель из числителя и знаменателя, что оставляет вам:

1 / (х - 4)

Теперь ваше рациональное выражение упрощено, но вам также нужно отметить любые Икс значения, которые приведут к неопределенной дроби. В таком случае, Икс = 4 вернет нулевое значение в знаменателе. Итак, ваш ответ:

1 / (х - 4), х ≠ 4