Когда вы впервые начинаете изучать функции, вам, возможно, придется рассматривать их как машину: вы вводите значение,Икс, в функцию, и как только оно будет обработано машиной, другое значение - назовем егоу- выскакивает дальний конец. Диапазон возможныхИксвходные данные, которые могут проходить через машину для возврата действительного вывода, называются областью действия функции. Поэтому, если вас просят найти домен функции, вам действительно нужно выяснить, какие возможные входные данные вернут действительный результат.
Стратегия поиска домена
Если вы только изучаете функции и домены, обычно предполагается, что домен функции - «все действительные числа». Итак, когда вы приступив к определению предметной области, часто проще всего использовать свои знания математики, особенно алгебры, чтобы определить, какие числанедействительные члены домена. Поэтому, когда вы видите инструкции «найдите домен», их проще всего прочитать в уме как «найти и удалить любые числа, которыене могубыть в домене ".
В большинстве случаев это сводится к проверке (и исключению) потенциальных входов, которые могут привести к тому, что дроби станут неопределенными, или иметь 0 в знаменателе и искать потенциальные входные данные, которые дадут вам отрицательные числа под квадратным корнем знак.
Пример поиска домена
Рассмотрим функцию
f (x) = \ frac {3} {x - 2}
что на самом деле означает, что любое введенное вами число будет сброшено на место вместоИксв правой части уравнения. Например, если вы рассчиталиж(4) у вас будет
f (4) = \ frac {3} {4–2}
который работает до 3/2.
Но что, если вы подсчиталиж(2) или, другими словами, введите 2 вместоИкс? Тогда у тебя было бы
f (2) = \ frac {3} {2–2}
что упрощается до 3/0, что является неопределенной дробью.
Это иллюстрирует один из двух распространенных примеров, которые могут исключать число из домена функции. Если задействована дробь, и ввод приведет к тому, что знаменатель этой дроби будет равен нулю, то ввод должен быть исключен из области определения функции.
Небольшой осмотр покажет вам, что абсолютно любое числоКроме2 вернет действительный (если иногда и беспорядочный) результат для рассматриваемой функции, поэтому домен этой функции - все числа, кроме 2.
Еще один пример поиска домена
Есть еще один распространенный случай, который исключает возможные члены домена функции: отрицательное число под знаком квадратного корня или любой радикал с четным индексом. Рассмотрим пример функции
f (x) = \ sqrt {5 - x}
ЕслиИкс≤ 5, то величина под знаком корня будет либо 0, либо положительной, и вернет действительный результат. Например, еслиИкс= 4.5 у вас будет
f (4.5) = \ sqrt {5 - 4.5} = \ sqrt {0.5}
который, хотя и беспорядочный, все же возвращает действительный результат. И еслиИкс= −10 у вас будет
f (-10) = \ sqrt {5 - (-10)} = \ sqrt {5 + 10} = \ sqrt {15}
который, опять же, возвращает действительный, если нечеткий результат.
Но представьте, чтоИкс= 5,1. В тот момент, когда вы на цыпочках преодолеете разделительную линию между 5 и любыми числами, превышающими ее, вы получите отрицательное число под корнем:
f (5.1) = \ sqrt {5 - 5.1} = \ sqrt {-0.1}
Намного позже в своей математической карьере вы научитесь понимать отрицательные квадратные корни, используя концепцию, называемую мнимыми числами или комплексными числами. Но на данный момент наличие отрицательного числа под знаком радикала исключает этот ввод как действительный член домена функции.
Итак, в данном случае, потому что любое числоИкс≤ 5 возвращает действительный результат для этой функции и любое числоИкс> 5 возвращает неверный результат, домен функции - все числаИкс ≤ 5.