Нормальная кривая - это название графика стандартное нормальное распределение вероятностей, о чем люди (часто неосознанно) говорят, когда упоминают любую «кривую колокола», показывающую, где люди или другие переменные находятся по отношению к некоторому среднему или среднему значению для населения.
Стандартная нормальная кривая обеспечивает как визуальное, так и числовое представление о том, как данная переменная распределяется в популяции, когда Известно, что реальная ситуация, представленная функцией, имеет симметричное распределение в интересующей нас совокупности (отсюда и "колокол" форма). Это может включать IQ или рост мужчин, которые могут меняться как в одну сторону от среднего значения, так и в другую, и также могут варьироваться в той же степени.
Все нормальные кривые и связанные с ними данные имеют определенные общие атрибуты, которые позволяют генерировать числовых таблиц, которые позволяют решать значения площади вместо более сложных математических вычисления.
Стандартное нормальное распределение
В любом нормальном распределении по определению чуть менее 68 процентов точек данных попадают в одно стандартное отклонение от среднего значения генеральной совокупности или выборки генеральной совокупности. Около 95 процентов находятся в пределах двух стандартных отклонений, а 99,9 процента - в пределах трех стандартных отклонений.
Каждой отметке стандартного отклонения присваивается целочисленное значение около среднего (например, -3, -2, 1, 1, 2, 3) и присваивается переменная z. Это значение или z-оценка также может принимать нецелочисленные значения (например, -2,58).
Z-баллы используются для определения вероятности возникновения события в заданном диапазоне возможностей. Например, если вам сказали, что среднее значение и стандартное отклонение для IQ (коэффициент интеллекта) составляют 100 и 20 баллов, что дает z = 0 для IQ = 100 и z = 1,0. для IQ = 120, и вас просят указать вероятность того, что у случайно выбранного человека будет IQ 140 или выше, вы используете z-таблицу, чтобы прийти к решению.
Площадь под нормальной кривой
В большинстве случаев в математике площадь под кривой графика уравнения находится путем манипулирования уникальные элементы этого уравнения напрямую, например, путем интегрирования кривой между координатами x интерес. Используя обычную кривую, вы вместо этого просматриваете одно или два числа в таблице, называемой z-значениями, и, если необходимо, выполняете шаг вычитания.
Площади под всей нормальной кривой, независимо от ее точной формы, присваивается значение 1.0. Все частичные области под Таким образом, нормальная кривая представляет собой десятичные числа от 0 до 1, которые можно легко преобразовать в проценты, умножив их на 100.
Z-таблицы позволяют читать до сотого места в оценке, чтобы дать области до четырех или пяти значащих цифр. Это делается путем получения десятого места на левой оси и последующего чтения в соответствующей строке, чтобы получить сотое место.
- Это объясняет, почему доля площади слева от z = -2,58 составляет 0,00494.
Нормальное распределение: область между двумя точками
Предположим, что в тесте со средним значением 80 и стандартным отклонением 10 вы хотите знать, какой процент учащихся набрал от 65 до 85 баллов.
Вы бы начали с поиска верхний и нижний z-значения. Это делается путем вычитания среднего из вашей верхней границы и деления на стандартное отклонение: (85 - 80) / 10 = 0,50. Затем вы найдете нижнюю границу таким же образом: (65 - 80) / 10 -1,50.
Теперь вы можете присвоить этим z-значениям значения площади, обратившись к таблице. Эти значения равны 0,68916 для z = 0,5 и 0,06681 для z = 1,5. Каждая из этих областей представляет собой область под кривой от левого «хвоста» до рассматриваемое значение x, поэтому для области между двумя точками x = 65 и x = 85 вы вычитаете меньшее значение из большего, чтобы получить 0.63135.
Таким образом, можно ожидать, что 63,1 процента баллов будут находиться в диапазоне от 65 до 85 при стандартном отклонении 10 в нормальном распределении.