Дробные экспоненты: правила умножения и деления

Обучение работе с показателями является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют правилам для недробных показателей. Первый шаг к пониманию того, как работать с дробными показателями, - это краткое изложение того, что именно они собой представляют. а затем вы можете посмотреть, как можно комбинировать показатели, когда они умножаются или делятся и имеют одинаковые база. Короче говоря, вы складываете показатели вместе при умножении и вычитаете одну из другой при делении, при условии, что они имеют одинаковое основание.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Умножьте члены на показатели по общему правилу:

​Икс^а​ + ​Икс^б​ = ​Икс​^{(​а​ + ​б​)}

И разделите члены на экспоненты по правилу:

​Икс^а ​÷ ​Икс^б​ = ​Икс​^{(​а​ – ​б​)}

Эти правила работают с любым выражением вместоаа такжеб, даже дроби.

Дробные показатели представляют собой компактный и удобный способ выражения квадратных, кубических и высших корней. Знаменатель показателя показывает, какой корень «основного» числа представляет этот член. В таком термине, как

Знаменатель двойки в показателе степени означает, что вы извлекаете квадратный корень изИксв этом выражении. То же основное правило применяется к высшим корням:

А также

Этот образец продолжается. Для конкретного примера:

А также

Умножьте члены с дробными показателями (при условии, что они имеют одинаковое основание), сложив показатели. Например:

СИкс​^1/3 означает «кубический корень изИкс, »Имеет смысл, что умножение на само себя дважды дает результатИкс. Вы также можете встретить такие примеры, какИкс​^1/3 × ​Икс​^1/3, но вы справляетесь с ними точно так же:

Тот факт, что выражение в конце по-прежнему представляет собой дробную экспоненту, не имеет значения для процесса. Это можно упростить, если вы заметите, чтоИкс​^2/3 = (​Икс​^1/3)² = ∛​Икс​². С таким выражением не имеет значения, возьмете ли вы сначала корень или власть. Этот пример показывает, как их вычислить:

Поскольку кубический корень из 8 легко вычислить, решите это следующим образом:

Итак, это означает:

Вы также можете встретить произведения дробных показателей с разными числами в знаменателях дробей, и вы можете складывать эти показатели так же, как и другие дроби. Например:

Все это конкретные выражения общего правила умножения двух выражений на показатели:

Для деления двух чисел используйте дробные показатели, вычитая показатель степени, который вы делите (делитель), на показатель, который вы делите (делимое). Например:

Это имеет смысл, потому что любое число, деленное само на себя, равно единице, и это согласуется со стандартным результатом, что любое число, возведенное в степень 0, равно единице. В следующем примере числа используются как основания и различные показатели:

Что вы также можете увидеть, если заметите, что 16^1/2 = 4 и 16^1/4 = 2.

Как и в случае с умножением, вы также можете получить дробные показатели, у которых в числителе есть число, отличное от единицы, но вы работаете с ними таким же образом.

Они просто выражают общее правило деления показателей:

Если основы в терминах различаются, нет простого способа умножить или разделить показатели. В этих случаях просто вычислите значение отдельных терминов, а затем выполните требуемую операцию. Единственное исключение - если показатель такой же, и в этом случае вы можете умножить или разделить их следующим образом: