3 Методы решения систем уравнений

Три метода, наиболее часто используемые для решения систем уравнений, - это подстановка, исключение и расширенные матрицы. Замена и исключение - это простые методы, с помощью которых можно эффективно решить большинство систем двух уравнений за несколько простых шагов. Метод расширенных матриц требует большего количества шагов, но его применение распространяется на большее количество систем.

Подстановка - это метод решения системы уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений, а затем решения этого уравнения. Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении и последующей подстановки значений этих переменных в другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x - 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнение, чтобы получить x = 4 - y, затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 - y) - 3y = 3. Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3.

Исключение - это еще один способ решения систем уравнений путем переписывания одного из уравнений в терминах только одной переменной. Метод исключения достигает этого путем сложения или вычитания уравнений друг из друга, чтобы сократить одну из переменных. Например, сложение уравнений x + 2y = 3 и 2x - 2y = 3 дает новое уравнение 3x = 6 (обратите внимание, что члены y сокращены). Затем система решается с использованием тех же методов, что и для замены. Если невозможно сократить переменные в уравнениях, необходимо будет умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.

Дополненные матрицы также могут использоваться для решения систем уравнений. Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, который содержит постоянный член с другой стороны уравнения. Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x - y = 0 имеет вид [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

На следующем этапе используются элементарные операции со строками, такие как умножение или деление строки на константу, отличную от нуля, и добавление или вычитание строк. Цель этих операций - преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой первая ненулевая запись в каждой строке равна 1, записи над и под этой записью все нули, и первая ненулевая запись для каждой строки всегда находится справа от всех таких записей в строках над ним. Строчно-эшелонированная форма для указанной выше матрицы - [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).

Подстановка и исключение - более простые методы решения уравнений, которые используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре. Метод подстановки особенно полезен, когда одна из переменных уже изолирована в одном из уравнений. Метод исключения полезен, когда коэффициент одной из переменных одинаков (или его отрицательный эквивалент) во всех уравнениях. Основное преимущество расширенных матриц состоит в том, что их можно использовать для решения систем из трех или более уравнений в ситуациях, когда подстановка и исключение либо невозможны, либо невозможны.