Уловки факторинга квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это формулы, которые можно записать в виде Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Иногда квадратное уравнение можно упростить, разложив на множители или выразив уравнение как произведение отдельных членов. Это может упростить решение уравнения. Факторы иногда бывает сложно определить, но есть уловки, которые могут облегчить этот процесс.

Изучите квадратное уравнение, чтобы определить, существует ли число и / или переменная, которые могут разделить каждый член уравнения. Например, рассмотрим уравнение 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Наибольшее число, которое можно равномерно разделить на каждый член уравнения, равно 2, поэтому 2 - это наибольший общий множитель (GCF).

Разделите каждый член в уравнении на GCF и умножьте все уравнение на GCF. В примере уравнения 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 это приведет к 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Упростите выражение, завершив деление в каждом термине. В итоговом уравнении не должно быть дробей. В примере это приведет к 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Изучите квадратное уравнение, чтобы увидеть, имеет ли оно форму Ax ^ 2 + 0x - C = 0, где A = y ^ 2 и C = z ^ 2. Если это так, квадратное уравнение выражает разницу двух квадратов. Например, в уравнении 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 и C = 9 = 3 ^ 2, поэтому y = 2 и z = 3.

Разложите уравнение на множители в виде (yx + z) (yx - z) = 0. В примере уравнения y = 2 и z = 3; поэтому факторизованное квадратное уравнение (2x + 3) (2x - 3) = 0. Это всегда будет факторизованная форма квадратного уравнения, представляющая собой разность квадратов.

Изучите квадратное уравнение, чтобы увидеть, является ли оно идеальным квадратом. Если квадратное уравнение представляет собой полный квадрат, его можно записать в форме y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, например, уравнение 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, которое можно переписать как (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. В этом случае y = 2x и z = 3.

Проверьте, положительный ли член 2yz. Если член положительный, множители квадратного квадратного уравнения всегда равны (y + z) (y + z). Например, в приведенном выше уравнении 12x положительно, поэтому множители (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Проверьте, является ли термин 2yz отрицательным. Если член отрицательный, множители всегда (y - z) (y - z). Например, если бы в приведенном выше уравнении был член -12x вместо 12x, множители были бы (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Задайте факторизованную форму квадратного уравнения, написав (vx + w) (yx + z) = 0. Напомним правила умножения FOIL (первый, внешний, внутренний, последний). Поскольку первым членом квадратного уравнения является Ax ^ 2, оба фактора уравнения должны включать x.

Решите относительно v и y, учитывая все множители A в квадратном уравнении. Если A = 1, то и v, и y всегда будут равны 1. В примере уравнения x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, поэтому v и y можно решить в уравнении с факторизацией, чтобы получить (1x + w) (1x + z) = 0.

Определите, положительные или отрицательные значения w и z. Применяются следующие правила: C = положительный результат и B = положительный результат; оба фактора имеют знак +, C = положительный и B = отрицательный; оба фактора имеют знак C = отрицательный и B = положительный; коэффициент с наибольшим значением имеет знак +, C = отрицательный и B = отрицательный; коэффициент с наибольшим значением имеет знак - В примере уравнения из шага 2, B = -9 и C = +8, поэтому оба фактора уравнения будут иметь знаки -, а факторизованное уравнение может быть записано как (1x - w) (1x - z) = 0.

Составьте список всех факторов C, чтобы найти значения для w и z. В приведенном выше примере C = 8, поэтому коэффициенты равны 1 и 8, 2 и 4, -1 и -8, а также -2 и -4. В сумме множители должны составлять B, что равно -9 в примере уравнения, поэтому w = -1 и z = -8 (или наоборот), и наше уравнение полностью учитывается как (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Приведите уравнение к простейшей форме, используя метод наибольшего общего коэффициента, указанный выше. Например, в уравнении 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, GCF равно 9, поэтому уравнение упрощается до 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Нарисуйте коробку и разделите ее на таблицу с двумя строками и двумя столбцами. Поместите Ax ^ 2 упрощенного уравнения в строку 1, столбец 1, а C упрощенного уравнения в строку 2, столбец 2.

Умножьте A на C и найдите все множители продукта. В приведенном выше примере A = 1 и C = -10, поэтому произведение равно (1) (- 10) = -10. Множители -10 - это -1 и 10, -2 и 5, 1 и -10, а также 2 и -5.

Определите, какой из факторов продукта AC в сумме дает B. В примере B = 3. Множители -10, которые в сумме дают 3: -2 и 5.

Умножьте каждый из указанных факторов на x. В приведенном выше примере это приведет к -2x и 5x. Поместите эти два новых термина в два пустых места на диаграмме, чтобы таблица выглядела так:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Найдите GCF для каждой строки и столбца поля. В примере CGF для верхней строки - x, а для нижней строки - -2. GCF для первого столбца равен x, а для второго столбца - 5.

Запишите факторизованное уравнение в форме (w + v) (y + z), используя факторы, указанные в строках диаграммы для w и v, и факторы, указанные в столбцах диаграммы для y и z. Если уравнение было упрощено на шаге 1, не забудьте включить GCF уравнения в факторизованное выражение. В случае примера факторизованное уравнение будет 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Перед тем, как приступить к любому из описанных методов, убедитесь, что уравнение имеет стандартную квадратичную форму.

Не всегда легко определить идеальный квадрат или разность квадратов. Если вы быстро увидите, что квадратное уравнение, которое вы пытаетесь разложить на множители, находится в одной из этих форм, это может быть большим подспорьем. Однако не тратьте много времени на то, чтобы понять это, так как другие методы могут быть быстрее.

Всегда проверяйте свою работу, умножая коэффициенты с помощью метода FOIL. Коэффициенты всегда должны возвращаться к исходному квадратному уравнению.