Когда вы начинаете с трех уравнений и трех неизвестных (переменных), вы можете подумать, что у вас достаточно информации для решения всех переменных. Однако при решении системы линейных уравнений методом исключения вы можете обнаружить, что система недостаточно определен, чтобы найти один единственный ответ, и вместо этого бесконечное количество решений возможный. Это происходит, когда информация в одном из уравнений в системе избыточна для информации, содержащейся в других уравнениях.
Пример 2x2
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Эта система уравнений явно избыточна. Вы можете создать одно уравнение из другого, просто умножив его на константу. Другими словами, они передают одну и ту же информацию. Несмотря на наличие двух уравнений для двух неизвестных, x и y, решение этой системы нельзя сузить до одного значения для x и одного значения для y. (x, y) = (1,1) и (5 / 3,0) оба решают его, как и многие другие решения. Это своего рода «проблема», эта нехватка информации, которая также приводит к бесконечному количеству решений в более крупных системах уравнений.
Пример 3x3
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Подчеркивания используются только для сохранения интервала.] Методом исключения удалите x из второй строки, вычтя вторую строку из первой, получив х + у + г = 10 _2у= 10 х_ +z = 5 Удалите x из третьей строки, вычтя третью строку из первой. х + у + г = 10 _2у=10 у= 5 Ясно, что два последних уравнения эквивалентны. y равно 5, и первое уравнение можно упростить, исключив y. х + 5 + г = 10 y __ = 5 или x + z = 5 y = 5 Обратите внимание, что метод исключения не даст здесь красивой треугольной формы, как это происходит при наличии одного уникального решения. Вместо этого последнее уравнение (если не большее) само будет поглощено другими уравнениями. Теперь система состоит из трех неизвестных и только двух уравнений. Система называется «недоопределенной», потому что не хватает уравнений для определения значений всех переменных. Возможны бесконечное количество решений.
Как написать бесконечное решение
Бесконечное решение для вышеупомянутой системы может быть записано в терминах одной переменной. Один из способов записать это (x, y, z) = (x, 5,5-x). Поскольку x может принимать бесконечное количество значений, решение может принимать бесконечное количество значений.