Темпы изменений проявляются повсюду в науке, особенно в физике, через такие величины, как скорость и ускорение. Производные математически описывают скорость изменения одной величины по отношению к другой, но вычисляют иногда они могут быть сложными, и вам может быть представлен график, а не функция в уравнении форма. Если вам представлен график кривой и вам нужно найти производную от него, вы, возможно, не сможете быть столь же точными, как с уравнением, но вы легко сможете сделать твердую оценку.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Выберите точку на графике, в которой нужно найти значение производной.
Проведите в этой точке прямую касательную к кривой графика.
По наклону этой линии найдите значение производной в выбранной вами точке на графике.
Если не считать абстрактной установки дифференцирования уравнения, вы можете немного запутаться в том, что на самом деле представляет собой производная. В алгебре производная функции - это уравнение, которое сообщает вам значение «наклона» функции в любой точке. Другими словами, он сообщает вам, насколько изменяется одно количество при небольшом изменении другого. На графике градиент или наклон линии показывают, насколько зависимая переменная (помещенная на
у-оси) изменяется с независимой переменной (на осиИкс-ось).Для прямолинейных графиков вы определяете (постоянную) скорость изменения, вычисляя наклон графика. Отношения, описываемые кривыми, не так просты, но принцип, согласно которому производная просто означает наклон (в этой конкретной точке), все еще остается в силе.
Для отношений, описываемых кривыми, производная принимает разные значения в каждой точке кривой. Чтобы оценить производную графика, вам нужно выбрать точку, в которой будет производная. Например, если у вас есть график, показывающий пройденное расстояние в зависимости от времени, на прямолинейном графике наклон будет указывать вам постоянную скорость. Для скоростей, которые меняются со временем, график будет кривой, но прямой линией, которая только касается кривая в одной точке (линия, касательная к кривой) представляет скорость изменения в этой конкретной точке. точка.
Выберите место, где вам нужно знать производную. Использование пройденного расстояния vs. Например, выберите время, в которое вы хотите узнать скорость движения. Если вам нужно узнать скорость в нескольких разных точках, вы можете выполнить этот процесс для каждой отдельной точки. Если вы хотите узнать скорость через 15 секунд после начала движения, выберите точку на кривой через 15 секунд наИкс-ось.
Нарисуйте линию, касательную к кривой в интересующей вас точке. Не торопитесь, потому что это самая важная и самая сложная часть процесса. Ваша оценка будет лучше, если вы проведете более точную касательную. Поднесите линейку к точке кривой и отрегулируйте ее ориентацию так, чтобы линия, которую вы рисуете,Толькокоснитесь кривой в единственной интересующей вас точке.
Нарисуйте линию настолько долго, насколько позволяет график. Убедитесь, что вы легко можете прочитать два значения для обоихИкса такжеукоординаты, одна около начала вашей строки и одна ближе к концу. Вам не обязательно рисовать длинную линию (технически подходит любая прямая линия), но более длинные линии, как правило, легче измерить наклон.
Найдите два места на своей линии и запишитеИкса такжеукоординаты для них. Например, представьте свою касательную линию в виде двух заметных точек наИкс = 1, у= 3 иИкс = 10, у= 30, которые можно назвать Точкой 1 и Точкой 2. Использование символовИкс1 а такжеу1 для представления координат первой точки иИкс2 а такжеу2 для представления координат второй точки наклонмдан кем-то:
m = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
Это сообщает вам производную кривой в точке, где линия касается кривой. В этом примереИкс1 = 1, Икс2 = 10, у1 = 3 иу2 = 30, поэтому:
\ begin {align} m & = \ frac {30 - 3} {10 - 1} \\ \, \\ & = \ frac {27} {9} \\ \, \\ & = 9 \ end {align}
В примере это будет скорость в выбранной точке. Так что еслиИксось измерялась в секундах, ау- ось измерялась в метрах, результат будет означать, что рассматриваемое транспортное средство движется со скоростью 3 метра в секунду. Независимо от конкретной величины, которую вы рассчитываете, процесс оценки производной одинаков.