В математике последовательность - это любая строка чисел, расположенных в порядке возрастания или убывания. Последовательность становится геометрической последовательностью, когда вы можете получить каждое число, умножив предыдущее число на общий коэффициент. Например, серии 1, 2, 4, 8, 16... - геометрическая последовательность с общим множителем 2. Если вы умножите любое число в серии на 2, вы получите следующее число. Напротив, последовательность 2, 3, 5, 8, 14, 22... не является геометрическим, потому что между числами нет общего множителя. Геометрическая последовательность может иметь дробный общий множитель, и в этом случае каждое последующее число меньше предыдущего. 1, 1/2, 1/4, 1/8... это пример. Его общий множитель равен 1/2.
Тот факт, что геометрическая последовательность имеет общий фактор, позволяет делать две вещи. Первый - вычислить любой случайный элемент в последовательности (которую математики любят называть "пth "элемент), а второй - найти сумму геометрической последовательности с точностью до
пй элемент. Когда вы суммируете последовательность, помещая знак плюс между каждой парой терминов, вы превращаете последовательность в геометрическую серию.Нахождение n-го элемента в геометрическом ряду
В общем случае любую геометрическую серию можно представить следующим образом:
а + ар + ар ^ 2 + ар ^ 3 + ар ^ 4 +.. .
где "а"- это первый член в серии и"р"- общий фактор. Чтобы проверить это, рассмотрим серию, в которойа= 1 ир= 2. Получается 1 + 2 + 4 + 8 + 16... оно работает!
Установив это, теперь можно вывести формулу для n-го члена в последовательности (Иксп).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Показатель степени равенп- 1, а непчтобы первый член в последовательности мог быть записан какар0, что равно "а."
Проверьте это, вычислив 4-й член в серии примеров.
х_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Вычисление суммы геометрической последовательности
Если вы хотите суммировать расходящуюся последовательность, то есть последовательность с общим соотношением больше 1 или меньше -1, вы можете сделать это только до конечного числа членов. Однако можно вычислить сумму бесконечной сходящейся последовательности, которая является последовательностью с общим соотношением между 1 и -1.
Чтобы разработать формулу геометрической суммы, начните с размышлений о том, что вы делаете. Вы ищете всего следующую серию дополнений:
а + ар + ар ^ 2 + ар ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Каждый член в серииарk, а такжеkидет от 0 доп− 1. Формула суммы ряда использует знак сигмы с большой буквы -, что означает сложение всех членов из (k= 0) на (k = п − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Чтобы проверить это, рассмотрите сумму первых 4 членов геометрического ряда, начиная с 1 и имеющих общий множитель 2. В приведенной выше формулеа = 1, р= 2 ип= 4. Подключив эти значения, вы получите:
1 \ bigg (\ frac {1-2 ^ 4} {1-2} \ bigg) = 15
В этом легко убедиться, самостоятельно сложив числа в серии. Фактически, когда вам нужна сумма геометрического ряда, обычно проще сложить числа самостоятельно, когда есть только несколько членов. Однако, если ряд содержит большое количество членов, гораздо проще использовать формулу геометрической суммы.