В геометрической последовательности каждый член равен предыдущему члену, умноженному на постоянный ненулевой множитель, называемый общим множителем. Геометрические последовательности могут иметь фиксированное количество членов или быть бесконечными. В любом случае члены геометрической последовательности могут быстро стать очень большими, очень отрицательными или очень близкими к нулю. По сравнению с арифметическими последовательностями члены меняются гораздо быстрее, но в то время как бесконечная арифметика последовательности неуклонно увеличиваются или уменьшаются, геометрические последовательности могут приближаться к нулю, в зависимости от общих фактор.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Геометрическая последовательность - это упорядоченный список чисел, в котором каждый член является произведением предыдущего члена и фиксированного ненулевого множителя, называемого общим множителем. Каждый член геометрической последовательности - это среднее геометрическое значений предшествующих и следующих за ним терминов. Бесконечные геометрические последовательности с общим множителем от +1 до -1 приближаются к пределу нуля как члены добавляются, в то время как последовательности с общим множителем больше +1 или меньше -1 переходят в плюс или минус бесконечность.
Как работают геометрические последовательности
Геометрическая последовательность определяется ее начальным номером.а, общий факторри количество терминовS. Соответствующий общий вид геометрической последовательности:
а, ар, ар ^ 2, ар ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Общая формула срокапгеометрической последовательности (т. е. любой член в этой последовательности):
a_n = ar ^ {n-1}
Рекурсивная формула, которая определяет термин по отношению к предыдущему члену, выглядит следующим образом:
a_n = ra_ {n-1}
Пример геометрической последовательности с начальным числом 3, общим множителем 2 и восемью членами: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. При вычислении последнего члена с использованием общей формы, указанной выше, мы получаем следующий член:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Используя общую формулу для члена 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Если вы хотите использовать рекурсивную формулу для члена 5, тогда член 4 = 24 и a5 равно:
а_5 = 2 × 24 = 48
Свойства геометрической последовательности
Геометрические последовательности обладают особыми свойствами в том, что касается среднего геометрического. Среднее геометрическое двух чисел - это квадратный корень из их произведения. Например, среднее геометрическое 5 и 20 равно 10, потому что произведение 5 × 20 = 100, а квадратный корень из 100 равен 10.
В геометрических последовательностях каждый член представляет собой среднее геометрическое значение термина перед ним и члена после него. Например, в последовательности 3, 6, 12... выше, 6 - среднее геометрическое значений 3 и 12, 12 - среднее геометрическое значений 6 и 24, а 24 - среднее геометрическое значений 12 и 48.
Остальные свойства геометрических последовательностей зависят от общего множителя. Если общий факторрбольше 1, бесконечные геометрические последовательности будут стремиться к положительной бесконечности. Еслирнаходится между 0 и 1, последовательности будут приближаться к нулю. Еслирнаходится между нулем и -1, последовательности будут приближаться к нулю, но члены будут чередоваться между положительными и отрицательными значениями. Еслирменьше -1, члены будут стремиться как к положительной, так и к отрицательной бесконечности, поскольку они чередуются между положительными и отрицательными значениями.
Геометрические последовательности и их свойства особенно полезны в научных и математических моделях реальных мировых процессов. Использование определенных последовательностей может помочь в изучении популяций, которые растут с фиксированной скоростью в течение заданного периода времени, или инвестиций, приносящих проценты. Общие и рекурсивные формулы позволяют прогнозировать точные значения в будущем на основе начальной точки и общего множителя.