Иногда необходимо найти ненулевой вектор, который при умножении на квадратную матрицу вернет нам значение, кратное вектору. Этот ненулевой вектор называется «собственным вектором». Собственные векторы представляют интерес не только для математиков, но и для других специалистов, таких как физика и инженерное дело. Чтобы вычислить их, вам нужно знать матричную алгебру и определители.
Изучите и поймите определение «собственного вектора». Он находится для квадратной матрицы A размером n x n, а также для скалярное собственное значение, называемое «лямбда». Лямбда представлена греческой буквой, но здесь мы будем сокращать ее до Л. Если существует ненулевой вектор x, где Ax = Lx, этот вектор x называется «собственным значением A».
Найдите собственные значения матрицы, используя характеристическое уравнение det (A - LI) = 0. «Det» обозначает определитель, а «I» - единичную матрицу.
Вычислите собственный вектор для каждого собственного значения, найдя собственное подпространство E (L), которое является нулевым пространством характеристического уравнения. Ненулевые векторы E (L) являются собственными векторами A. Их можно найти, подставив собственные векторы обратно в характеристическую матрицу и найдя основу для A - LI = 0.
Вычислить собственные значения с помощью характеристического уравнения. Det (A - LI) равен (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, который является характеристическим многочленом. Алгебраическое решение этой проблемы дает нам L1 = 4 и L2 = 2, которые являются собственными значениями нашей матрицы.
Найдите собственный вектор для L = 4, вычислив нулевое пространство. Сделайте это, поместив L1 = 4 в характеристическую матрицу и найдя основу для A - 4I = 0. Решая это, мы находим x - y = 0 или x = y. У этого есть только одно независимое решение, поскольку они равны, например x = y = 1. Следовательно, v1 = (1,1) - собственный вектор, охватывающий собственное подпространство L1 = 4.
Повторите шаг 6, чтобы найти собственный вектор для L2 = 2. Находим x + y = 0 или x = --y. У этого также есть одно независимое решение, скажем, x = -1 и y = 1. Следовательно, v2 = (--1,1) - собственный вектор, охватывающий собственное подпространство L2 = 2.