Тригонометрия может показаться довольно абстрактным предметом. Такие загадочные термины, как «грех» и «потому что», кажется, просто не соответствуют чему-либо в действительности, и их трудно понять как концепции. Единичный круг существенно помогает в этом, предлагая прямое объяснение того, какие числа вы получаете, когда берете синус, косинус или тангенс угла. Для любого студента, изучающего естественные науки или математику, понимание единичного круга может действительно укрепить ваше понимание тригонометрии и того, как использовать функции.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Единичный круг имеет радиус один. Представьте себехусистема координат, начиная с центра этого круга. Углы при вершине отсчитываются от того места, гдеИкс= 1 иу= 0, в правой части круга. Углы увеличиваются при движении против часовой стрелки.
Используя эту структуру, иудляу-координат иИксдляИкс-координата точки на окружности:
грехθ = у
потому чтоθ = Икс
И следовательно:
загарθ = у / Икс
Что такое единичный круг?
«Единичный» круг имеет радиус 1. Другими словами, расстояние от центра круга до любой части края всегда равно 1. Единица измерения на самом деле не имеет значения, потому что самое важное в единичной окружности - это то, что она значительно упрощает многие уравнения и вычисления.
Он также служит полезной основой для определения углов. Представьте, что центр круга находится в центре системы координат сИкс- ось движется горизонтально иу- ось движется вертикально. Круг пересекаетИкс-ось наИкс = 1, у= 0. Ученые и математики определяют угол от этой точки, движущейся против часовой стрелки. Итак, сутьИкс =1, у= 0 на окружности находится под углом 0 °.
Определения греха и созна в единичном круге
Обычные определения sin, cos и tan, которые даются студентам, относятся к треугольникам. Они заявляют:
\ sin θ = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
«Противоположный» относится к длине стороны треугольника, противоположной углу, «прилегающий» относится к длина стороны рядом с углом, а «гипотенуза» относится к длине диагональной стороны треугольник.
Представьте, что вы создаете треугольник так, чтобы гипотенуза всегда была радиусом единичной окружности, с одним углом на краю круга и другим в его центре. Это означает, что в приведенных выше уравнениях гипотенуза = 1, поэтому первые две становятся:
% \\
Если вы сделаете рассматриваемый угол углом в центре круга, противоположным будет просто угол.у-координатный и смежный - это простоИкс-координата точки на окружности, касающейся треугольника. Другими словами, грех возвращаету-координата на единичной окружности (с использованием координат, начинающихся в центре) для заданного угла, а cos возвращаетИкс-координат. Вот почему cos (0) = 1 и sin (0) = 0, потому что на данный момент это координаты. Аналогично, cos (90) = 0 и sin (90) = 1, потому что это точка сИкс= 0 иу= 1. В форме уравнения:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Отрицательные углы также легко понять на основе этого. Отрицательные углы (измеренные по часовой стрелке от начальной точки) имеют одинаковыеИкскоординату как соответствующий положительный угол, поэтому:
\ соз-θ = \ соз θ
Тем не менееу-координатные переключатели, что означает, что
\ sin -θ = - \ sin θ
Определение загара с единичным кругом
Приведенное выше определение загара:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Но с определениями sin и cos единичным кругом, вы можете видеть, что это эквивалентно:
\ tan θ = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}}
Или, думая в терминах координат:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Это объясняет, почему tan не определен для 90 ° или -270 ° и 270 ° или -90 ° (гдеИкс= 0), потому что вы не можете разделить на ноль.
Графические тригонометрические функции
Графическое изображение sin или cos становится проще, если вы думаете о единичной окружности. ВИкс-координата плавно изменяется при перемещении по кругу, начиная с 1 и уменьшаясь до минимума -1 при 180 °, а затем увеличиваясь таким же образом. Функция sin делает то же самое, но сначала увеличивается до максимального значения 1 под углом 90 °, а затем следует той же схеме. Считается, что эти две функции сдвинуты по фазе на 90 ° друг с другом.
Чтобы отобразить загар, нужно разделитьуотИкс, и поэтому его сложнее построить, а также есть точки, где он не определен.