В математике обратная величина числа - это число, которое при умножении на исходное число дает 1. Например, обратная величина для переменной x равна 1 /Икс, так как
х × \ гидроразрыва {1} {x} = \ гидроразрыва {x} {x} = 1
В этом примере 1 /Иксэто взаимное тождествоИкс, и наоборот. В тригонометрии любой из углов, составляющих не 90 градусов, в прямоугольном треугольнике может быть определен с помощью соотношений, называемых синусом, косинусом и тангенсом. Применяя концепцию взаимных тождеств, математики определяют еще три соотношения. Их имена косеканс, секанс и котангенс. Косеканс - это взаимное тождество синуса, секанса - косинуса, а котангенса - тангенса.
Как определить взаимные идентичности
Рассмотрим уголθ, который является одним из двух углов в прямоугольном треугольнике, отличных от 90 градусов. Если длина стороны треугольника, противоположной углу, равна "б, «длина стороны, примыкающей к углу и противоположной гипотенузам, равна»а"а длина гипотенузы равна"р, "мы можем определить три основных тригонометрических отношения в терминах этих длин.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosine} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {касательная} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Взаимная идентичность грехаθдолжно быть равно 1 / sin θ, поскольку это число, которое при умножении на sinθ, производит 1. То же верно и для cosθи загарθ. Математики дают этим обратным величинам имена косеканс, секанс и котангенс соответственно. По определению:
\ text {косеканс} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {котангенс} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Вы можете определить эти взаимные тождества с точки зрения длин сторон прямоугольного треугольника следующим образом:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Следующие отношения верны для любого угла.θ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Два других тригонометрических тождества
Если вы знаете синус и косинус угла, вы можете получить тангенс. Это правда, потому что
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {и} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, поэтому} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Поскольку это определение tan θ, следующее тождество, известное как фактор-тождество, следует из этого:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ cot θ
Тождество Пифагора следует из того факта, что для любого прямоугольного треугольника со сторонамиаа такжеби гипотенузар, верно следующее:а2 + б2 = р2. Переставляя члены и определяя отношения в терминах синуса и косинуса, вы придете к следующему выражению:
\ грех ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Когда вы вставляете взаимные тождества для синуса и косинуса в приведенное выше выражение, следуют два других важных отношения:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ cot ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ