Иногда единственный способ выполнить математические вычисления - это применить грубую силу. Но время от времени вы можете сэкономить много работы, распознавая особые проблемы, для решения которых вы можете использовать стандартизированную формулу. Нахождение суммы кубов и определение разницы кубов - вот два примера именно этого: как только вы знаете формулы для разложения на множителиа3 + б3 или жеа3 - б3найти ответ так же просто, как подставить значения a и b в правильную формулу.
Помещая это в контекст
Во-первых, быстрый взгляд на то, почему вы можете захотеть найти - или, что более уместно, «фактор» - суммы или разность кубов. Когда эта концепция вводится впервые, это сама по себе простая математическая задача. Но если вы продолжите изучать математику, в дальнейшем это станет промежуточным этапом в более сложных вычислениях. Итак, если вы получитеа3 + б3 или жеа3 − б3 в качестве ответа во время других расчетов вы можете использовать навыки, которые вы собираетесь изучить, чтобы разбить кубики числа разделены на более простые компоненты, что часто упрощает дальнейшее решение исходных проблема.
Факторинг суммы кубов
Представьте, что вы пришли к биному
х ^ 3 + 27
и просят упростить его. Первый срок,Икс3, очевидно, является числом в кубе. После небольшого исследования вы можете увидеть, что второе число также является числом в кубе: 27 то же самое, что и 3.3. Теперь, когда вы знаете, что оба числа являются кубиками, вы можете применить формулу для суммы кубиков.
Запишите оба числа в кубической форме, если это еще не так. Чтобы продолжить этот пример, вам нужно:
х ^ 3 + 27 = х ^ 3 + 3 ^ 3
Когда вы привыкнете к процессу, вы можете пропустить этот шаг и сразу перейти к заполнению значений из шага 1 в формуле. Но особенно когда вы учитесь, лучше действовать шаг за шагом и напоминать себе о формуле:
а ^ 3 + Ь ^ 3 = (а + Ь) (а ^ 2 - аб + Ь ^ 2)
Сравните левую часть этого уравнения с результатом из шага 1. Обратите внимание, что вы можете заменитьИксна местеа,и 3 вместоб.
Подставьте значения из шага 1 в формулу из шага 2. Так что у тебя есть:
х ^ 3 + 3 ^ 3 = (х + 3) (х ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
На данный момент ваш ответ представляет собой получение правой части уравнения. Это результат разложения суммы двух чисел в кубе.
Факторизация кубиков
Факторизация разницы двух чисел в кубе работает точно так же. По сути, формула практически идентична формуле суммы кубиков. Но есть одно важное отличие: обратите особое внимание на то, где идет знак минус.
Представьте, что у вас возникла проблема
у ^ 3 - 125
и должны это учитывать. Как прежде,у3 - очевидный куб, и, немного подумав, вы сможете распознать, что 125 на самом деле 53. Так что у тебя есть:
у ^ 3 - 125 = у ^ 3 - 5 ^ 3
Как и раньше, выпишите формулу разности кубиков. Обратите внимание, что вы можете заменитьудляаи 5 дляб, и обратите особое внимание на то, где в этой формуле стоит знак минус. Расположение знака минус - единственное отличие этой формулы от формулы суммы кубиков.
а ^ 3 - Ь ^ 3 = (а - Ь) (а ^ 2 + аб + Ь ^ 2)
Напишите формулу еще раз, на этот раз заменив значения из шага 1. Это дает:
у ^ 3-5 ^ 3 = (у - 5) (у ^ 2 + 5у + 5 ^ 2)
Опять же, если все, что вам нужно сделать, это множить разницу кубов, это ваш ответ.