Как разложить на множители с отрицательными дробными показателями

Положительный показатель показывает, сколько раз нужно умножить базовое число само на себя. Например, экспоненциальный члену3 такой же каку​ × ​у​ × ​у, или жеуумножается на себя в два раза. Как только вы усвоили эту основную концепцию, вы можете начать добавлять дополнительные слои, такие как отрицательные показатели, дробные показатели или даже их комбинацию.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Отрицательный дробный показательу−​м/​п можно разложить на форму:

1 / (​п​√​у​)​м

Факторинг отрицательных полномочий

Прежде чем разложить на множители отрицательные, дробные показатели, давайте кратко рассмотрим, как вообще разложить на множители отрицательные показатели или отрицательные степени. Отрицательная экспонента делает в точности обратную положительную экспоненту. Итак, пока положительный показатель, такой кака4 говорит вам умножатьасам по себе три раза (всего в выражении четыре), илиа​ × ​а​ × ​а​ × ​а,видение отрицательной экспоненты говорит вамделитьотачетыре раза: так

а ^ {- 4} = \ frac {1} {а × а × а × а}

instagram story viewer

Или, говоря более формально:

x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}

Факторинг дробных показателей

Следующий шаг - научиться разложить дробные показатели на множители. Начнем с очень простой дробной экспоненты, такой какИкс1/​у. Когда вы видите такой дробный показатель, это означает, что вы должны взятьу-й корень из основного числа. Выражаясь более формально:

х ^ {1 / y} = \ sqrt [y] {x}

Если это кажется непонятным, могут помочь еще несколько конкретных примеров:

y ^ {1/3} = \ sqrt [3] {y} \\ b ^ {1/2} = \ sqrt {b}

(Помните, √Икстакой же как 2√​Икс;но это выражение настолько распространено, что 2, или порядковый номер опускается.)

8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2

Что, если числитель дробной экспоненты не равен 1? Затем значение этого числа остается в виде экспоненты, применяемой ко всему «корневому» члену. Формально это означает:

у ^ {м / п} = (\ sqrt [п] {у}) ^ м

В качестве более конкретного примера рассмотрим следующее:

a ^ {b / 5} = (\ sqrt [5] {a}) ^ b

Объединение отрицательных и дробных показателей

Когда дело доходит до факторизации отрицательных дробных показателей, вы можете комбинировать то, что вы узнали о факторинговых выражениях с отрицательными показателями и выражениями с дробными показателями.

Помнить,

x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}

независимо от того, что вуместо;уможет быть даже дробь.

Итак, если у вас есть выражениеИкс−​а/​б, что равно 1 / (Икса/​б). Но вы можете упростить еще один шаг, применив то, что вы знаете о дробных показателях, к члену в знаменателе дроби.

Помнить,

у ^ {м / п} = (\ sqrt [п] {у}) ^ м

или, чтобы использовать переменные, с которыми вы уже имеете дело,

х ^ {a / b} = (\ sqrt [b] {x}) ^ a

Итак, сделаем следующий шаг в упрощенииИкс−​а/​б, у тебя есть

x ^ {- a / b} = \ frac {1} {x ^ {a / b}} = \ frac {1} {(\ sqrt [b] {x}) ^ a}

Это насколько вы можете упростить, не зная больше оИкс​, ​били жеа.Но если вы знаете больше о любом из этих терминов, возможно, вы сможете еще больше упростить его.

Еще один пример упрощения дробно-отрицательных экспонент

Чтобы проиллюстрировать это, вот еще один пример с добавлением немного дополнительной информации:

Упрощать

16^{-4/8}

Во-первых, вы заметили, что −4/8 можно уменьшить до −1/2? Итак, у вас 16 −1/2, который уже выглядит намного более дружелюбным (и, возможно, даже более знакомым), чем исходная проблема.

Упрощая, как и раньше, вы придете к

16 ^ {- 1/2} = \ frac {1} {(\ sqrt [2] {16}) ^ 1}

который обычно записывается просто как

\ frac {1} {\ sqrt {16}}

И поскольку вы знаете (или можете быстро вычислить), что √16 = 4, вы можете упростить этот последний шаг до:

16 ^ {- 4/8} = \ frac {1} {4}

Teachs.ru
  • Доля
instagram viewer