Положительный показатель показывает, сколько раз нужно умножить базовое число само на себя. Например, экспоненциальный члену3 такой же каку × у × у, или жеуумножается на себя в два раза. Как только вы усвоили эту основную концепцию, вы можете начать добавлять дополнительные слои, такие как отрицательные показатели, дробные показатели или даже их комбинацию.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Отрицательный дробный показательу −м/п можно разложить на форму:
1 / (п√у)м
Факторинг отрицательных полномочий
Прежде чем разложить на множители отрицательные, дробные показатели, давайте кратко рассмотрим, как вообще разложить на множители отрицательные показатели или отрицательные степени. Отрицательная экспонента делает в точности обратную положительную экспоненту. Итак, пока положительный показатель, такой кака4 говорит вам умножатьасам по себе три раза (всего в выражении четыре), илиа × а × а × а,видение отрицательной экспоненты говорит вамделитьотачетыре раза: так
а ^ {- 4} = \ frac {1} {а × а × а × а}
Или, говоря более формально:
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
Факторинг дробных показателей
Следующий шаг - научиться разложить дробные показатели на множители. Начнем с очень простой дробной экспоненты, такой какИкс1/у. Когда вы видите такой дробный показатель, это означает, что вы должны взятьу-й корень из основного числа. Выражаясь более формально:
х ^ {1 / y} = \ sqrt [y] {x}
Если это кажется непонятным, могут помочь еще несколько конкретных примеров:
y ^ {1/3} = \ sqrt [3] {y} \\ b ^ {1/2} = \ sqrt {b}
(Помните, √Икстакой же как 2√Икс;но это выражение настолько распространено, что 2, или порядковый номер опускается.)
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Что, если числитель дробной экспоненты не равен 1? Затем значение этого числа остается в виде экспоненты, применяемой ко всему «корневому» члену. Формально это означает:
у ^ {м / п} = (\ sqrt [п] {у}) ^ м
В качестве более конкретного примера рассмотрим следующее:
a ^ {b / 5} = (\ sqrt [5] {a}) ^ b
Объединение отрицательных и дробных показателей
Когда дело доходит до факторизации отрицательных дробных показателей, вы можете комбинировать то, что вы узнали о факторинговых выражениях с отрицательными показателями и выражениями с дробными показателями.
Помнить,
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
независимо от того, что вуместо;уможет быть даже дробь.
Итак, если у вас есть выражениеИкс −а/б, что равно 1 / (Икса/б). Но вы можете упростить еще один шаг, применив то, что вы знаете о дробных показателях, к члену в знаменателе дроби.
Помнить,
у ^ {м / п} = (\ sqrt [п] {у}) ^ м
или, чтобы использовать переменные, с которыми вы уже имеете дело,
х ^ {a / b} = (\ sqrt [b] {x}) ^ a
Итак, сделаем следующий шаг в упрощенииИкс −а/б, у тебя есть
x ^ {- a / b} = \ frac {1} {x ^ {a / b}} = \ frac {1} {(\ sqrt [b] {x}) ^ a}
Это насколько вы можете упростить, не зная больше оИкс, били жеа.Но если вы знаете больше о любом из этих терминов, возможно, вы сможете еще больше упростить его.
Еще один пример упрощения дробно-отрицательных экспонент
Чтобы проиллюстрировать это, вот еще один пример с добавлением немного дополнительной информации:
Упрощать
16^{-4/8}
Во-первых, вы заметили, что −4/8 можно уменьшить до −1/2? Итак, у вас 16 −1/2, который уже выглядит намного более дружелюбным (и, возможно, даже более знакомым), чем исходная проблема.
Упрощая, как и раньше, вы придете к
16 ^ {- 1/2} = \ frac {1} {(\ sqrt [2] {16}) ^ 1}
который обычно записывается просто как
\ frac {1} {\ sqrt {16}}
И поскольку вы знаете (или можете быстро вычислить), что √16 = 4, вы можете упростить этот последний шаг до:
16 ^ {- 4/8} = \ frac {1} {4}