Умножение и сложение - связанные математические функции. Добавление одного и того же числа несколько раз даст тот же результат, что и умножение числа на количество повторений сложения, так что 2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6. Эта связь дополнительно иллюстрируется сходством между ассоциативными и коммутативными свойствами умножения и ассоциативными и коммутативными свойствами сложения. Эти свойства связаны с тем, что порядок чисел в числе сложения или умножения не влияет на результат уравнения. Важно отметить, что эти свойства применяются только к сложению и умножению, а не к вычитание или деление, при котором изменение порядка чисел в уравнении изменит результат.
Коммутативное свойство умножения
При умножении двух чисел изменение порядка чисел в уравнении на обратное дает тот же результат. Это называется коммутативным свойством умножения и очень похоже на ассоциативное свойство сложения. Например, умножение трех на шесть равно шести умноженным на три (3 × 6 = 6 × 3 = 18). Выраженное в алгебраических терминах, коммутативное свойство:
а × Ь = Ь × а
или просто
ab = ba
Ассоциативное свойство умножения
Ассоциативное свойство умножения может рассматриваться как расширение коммутативного свойства умножения и аналогично ассоциативному свойству сложения. При умножении более двух чисел изменение порядка умножения чисел или их группировки приводит к тому же результату. Например, (3 × 4) × 2 = 12 × 2 = 24. Изменение порядка умножения на 3 × (4 × 2) дает 3 × 8 = 24. В алгебраических терминах ассоциативное свойство может быть описано как:
(a + b) + c = a + (b + c)
Коммутативное свойство сложения
Может быть полезно помнить об ассоциативных и коммутативных свойствах сложения по отношению к ассоциативным и коммутативным свойствам умножения. Согласно коммутативному свойству сложения два числа, сложенные вместе, дают одну и ту же сумму независимо от того, добавляются они вперед или назад. Другими словами, два плюс шесть равняется восьми, а шесть плюс два также равняется восьми (2 + 6 = 6 + 2 = 8) и напоминает свойство коммутативности умножения. Опять же, это может быть выражено алгебраически как
а + Ь = Ь + а
Ассоциативное свойство сложения
В ассоциативном свойстве сложения порядок, в котором складываются более трех или более наборов чисел, не изменяет сумму чисел. Таким образом, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6. Как и в случае ассоциативного свойства умножения, изменение порядка не меняет результат, поскольку 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6. Алгебраически ассоциативное свойство сложения
(a + b) + c = a + (b + c)