Cum se rezolvă o ecuație de rădăcină pătrată

Rădăcina pătrată a unui număr este o valoare care, atunci când este înmulțită cu ea însăși, dă numărul original. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 0 este 0, rădăcina pătrată a lui 100 este 10 și rădăcina pătrată a lui 50 este 7.071. Uneori, vă puteți da seama sau pur și simplu să vă amintiți rădăcina pătrată a unui număr care în sine este un „pătrat perfect”, care este produsul unui număr întreg înmulțit cu el însuși; pe măsură ce progresați prin studii, este probabil să dezvoltați o listă mentală a acestor numere (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemele care implică rădăcini pătrate sunt indispensabile în inginerie, calcul și practic orice domeniu al lumii moderne. Deși puteți localiza cu ușurință calculatoarele ecuației rădăcinii pătrate online (a se vedea Resurse pentru un exemplu), rezolvarea ecuațiilor rădăcinii pătrate este importantă abilitate în algebră, deoarece vă permite să vă familiarizați cu utilizarea radicalilor și să lucrați cu mai multe tipuri de probleme în afara tărâmului rădăcinilor pătrate în sine.

Faptul că înmulțirea a două numere negative împreună produce un număr pozitiv este important în lumea rădăcinilor pătrate, deoarece implică că numerele pozitive au de fapt două rădăcini pătrate (de exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 16 sunt 4 și −4, chiar dacă numai prima este intuitivă). În mod similar, numerele negative nu au rădăcini pătrate reale, deoarece nu există un număr real care să ia o valoare negativă atunci când este înmulțit cu el însuși. În această prezentare, rădăcina pătrată negativă a unui număr pozitiv va fi ignorată, astfel încât „rădăcina pătrată a lui 361” poate fi luată ca „19” mai degrabă decât „−19 și 19.”

De asemenea, atunci când încercați să estimați valoarea unei rădăcini pătrate atunci când niciun calculator nu este la îndemână, este important să vă dați seama că funcțiile care implică pătrate și rădăcini pătrate nu sunt liniare. Veți vedea mai multe despre acest lucru în secțiunea despre grafice mai târziu, dar, ca exemplu aproximativ, ați observat deja că rădăcina pătrată a lui 100 este 10 și rădăcina pătrată a lui 0 este 0. La vedere, acest lucru vă poate determina să ghiciți că rădăcina pătrată pentru 50 (care este la jumătatea distanței între 0 și 100) trebuie să fie 5 (care este la jumătatea distanței între 0 și 10). Dar ați aflat deja că rădăcina pătrată a lui 50 este 7,071.

În cele din urmă, este posibil să fi interiorizat ideea că înmulțirea a două numere împreună produce un număr mai mare decât el însuși, ceea ce înseamnă că rădăcinile pătrate ale numerelor sunt întotdeauna mai mici decât originalul număr. Nu este cazul! Numerele cuprinse între 0 și 1 au și rădăcini pătrate și, în fiecare caz, rădăcina pătrată este mai mare decât numărul inițial. Acest lucru este cel mai ușor afișat folosind fracții. De exemplu, 16/25, sau 0,64, are un pătrat perfect atât în ​​numărător, cât și în numitor. Aceasta înseamnă că rădăcina pătrată a fracției este rădăcina pătrată a componentelor sale superioare și inferioare, care este 4/5. Aceasta este egală cu 0,80, un număr mai mare decât 0,64.

"Rădăcina pătrată aX„se scrie de obicei folosind ceea ce se numește semn radical sau doar un radical (√). Astfel pentru oriceX​:

reprezintă rădăcina sa pătrată. Rotind acest lucru, pătratul unui numărXeste scris folosind un exponent de 2 (X​²). Exponenții iau superscripturi pentru procesarea textelor și aplicații conexe și sunt numiți și puteri. Deoarece semnele radicale nu sunt întotdeauna ușor de produs la cerere, un alt mod de a scrie „rădăcina pătrată aX"este să utilizați un exponent:

La rândul său, aceasta face parte dintr-o schemă generală:

înseamnă „ridicaXla puterea luiy, apoi ia 'z„rădăcina ei”.X​^1/2 înseamnă astfel „ridicaXla prima putere, care este pur și simpluXdin nou și apoi luați cele două rădăcini ale acestuia sau rădăcina pătrată. "X​^(5/3) înseamnă „ridicaXla puterea lui 5, apoi găsiți a treia rădăcină (sau rădăcină cub) a rezultatului. "

Radicalii pot fi folosiți pentru a reprezenta alte rădăcini decât 2, rădăcina pătrată. Acest lucru se face prin simpla adăugare a unui supercript în partea stângă sus a radicalului.

atunci, reprezintă același număr caX​^(5/3) din paragraful anterior face.

Majoritatea rădăcinilor pătrate sunt numere iraționale. Aceasta înseamnă că nu numai că nu sunt numere întregi frumoase și îngrijite (de exemplu, 1, 2, 3, 4.. .), dar nici ele nu pot fi exprimate ca un număr zecimal îngrijit care se termină fără a fi nevoie să fie rotunjite. Un număr rațional poate fi exprimat ca o fracție. Deci, chiar dacă 2,75 nu este un număr întreg, este un număr rațional deoarece este același lucru cu fracția 11/4. Vi s-a spus mai devreme că rădăcina pătrată a lui 50 este 7,071, dar aceasta este de fapt rotunjită dintr-un număr infinit de zecimale. Valoarea exactă a √50 este 5√2 și veți vedea cum se determină acest lucru în curând.

Ați văzut deja că ecuațiile care implică pătrate și rădăcini pătrate sunt neliniare. O modalitate ușoară de a ne aminti este că graficele soluțiilor acestor ecuații nu sunt linii. Acest lucru are sens, deoarece dacă, așa cum sa menționat, pătratul 0 este 0 și pătratul 10 este 100, dar pătratul din 5 nu este 50, graficul rezultat din simpla pătratare a unui număr trebuie să se încurce în direcția corectă valori.

Acesta este cazul graficului

după cum puteți vedea personal vizitând calculatorul din Resurse și modificând parametrii. Linia trece prin punctul (0,0), iar y nu merge sub 0, la care ar trebui să vă așteptați pentru că știți astaX​² nu este niciodată negativ. De asemenea, puteți vedea că graficul este simetric în juruly-axa, care are sens și pentru că fiecare rădăcină pătrată pozitivă a unui număr dat este însoțită de o rădăcină pătrată negativă de magnitudine egală. Prin urmare, cu excepția lui 0, fiecareyvaloare pe graficuly​ = ​X​² este asociat cu douăX-valori.

O modalitate de a aborda manual problemele de bază ale rădăcinii pătrate este să căutați pătrate perfecte „ascunse” în interiorul problemei. În primul rând, este important să fii conștient de câteva proprietăți vitale ale pătratelor și rădăcinilor pătrate. Una dintre acestea este aceea, la fel ca √X​² este pur și simplu egal cuX(deoarece radicalul și exponentul se anulează reciproc):

Adică, dacă aveți un pătrat perfect sub un radical care înmulțește un alt număr, îl puteți „scoate” și îl puteți folosi ca coeficient a ceea ce rămâne. De exemplu, revenirea la rădăcina pătrată a 50

Uneori, puteți încheia cu un număr care implică rădăcini pătrate, care este exprimat ca o fracție, dar este încă un număr irațional, deoarece numitorul, numărătorul sau ambii conțin un radical. În astfel de cazuri, vi se poate cere să raționalizați numitorul. De exemplu, numărul

are un radical atât în ​​numărător, cât și în numitor. Dar după ce examinați „45”, îl puteți recunoaște ca produsul lui 9 și 5, ceea ce înseamnă că

Prin urmare, fracția poate fi scrisă

Radicalii se anulează reciproc și rămâneți cu 6/3 = 2.