Cum se calculează combinații și permutații

Să presupunem că aveți n tipuri de articole și doriți să selectați o colecție de r dintre ele. S-ar putea să dorim aceste articole într-o anumită ordine. Aceste seturi de articole le numim permutări. Dacă comanda nu contează, numim setul de combinații de colecții. Atât pentru combinații, cât și pentru permutări, puteți lua în considerare cazul în care alegeți mai mult de n tipuri o dată, care se numește „cu repetare”, sau cazul în care alegeți fiecare tip o singură dată, care se numește „nu” repetiţie'. Scopul este de a putea număra numărul de combinații sau permutări posibile într-o situație dată.

Funcția factorială este adesea utilizată atunci când se calculează combinații și permutări. N! înseamnă N × (N – 1) ×... × 2 × 1. De exemplu, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Numărul de moduri de a comanda un set de articole este un factorial. Luați cele trei litere a, b și c. Aveți trei opțiuni pentru prima literă, două pentru a doua și doar una pentru a treia. Cu alte cuvinte, un total de 3 × 2 × 1 = 6 ordonări. În general, există n! modalități de a comanda n articole.

Să presupunem că aveți trei camere pe care urmează să le pictați și fiecare dintre ele va fi pictată cu una din cele cinci culori: roșu (r), verde (g), albastru (b), galben (y) sau portocaliu (o). Puteți alege fiecare culoare de câte ori doriți. Aveți la dispoziție cinci culori pentru prima cameră, cinci pentru a doua și cinci pentru a treia. Acest lucru oferă un total de 5 × 5 × 5 = 125 posibilități. În general, numărul de moduri de a alege un grup de r elemente într-o anumită ordine din n alegeri repetabile este n ^ r.

Acum, să presupunem că fiecare cameră va avea o culoare diferită. Puteți alege din cinci culori pentru prima cameră, patru pentru a doua și doar trei pentru a treia. Acest lucru dă 5 × 4 × 3 = 60, ceea ce se întâmplă să fie 5! / 2!. În general, numărul de moduri independente de a selecta r elemente într-o anumită ordine din n opțiuni nerepetabile este n! / (N – r) !.

Apoi, uitați ce cameră are culoarea. Alegeți doar trei culori independente pentru schema de culori. Ordinea nu contează aici, deci (roșu, verde, albastru) este la fel ca (roșu, albastru, verde). Pentru orice alegere de trei culori există 3! modalități prin care le puteți comanda. Deci, reduceți numărul de permutări cu 3! pentru a obține 5! / (2! × 3!) = 10. În general, puteți alege un grup de r elemente în orice ordine dintr-o selecție de n opțiuni nerepetabile în moduri n! / [(N – r)! × r!].

În cele din urmă, trebuie să creați o schemă de culori în care să puteți utiliza orice culoare de câte ori doriți. Un cod de contabilitate inteligent ajută această sarcină de numărare. Folosiți trei X-uri pentru a reprezenta camerele. Lista dvs. de culori este reprezentată de „rgbyo”. Amestecați X-urile în lista dvs. de culori și asociați fiecare X cu prima culoare din stânga acesteia. De exemplu, rgXXbyXo înseamnă că prima cameră este verde, a doua este verde și a treia este galbenă. Un X trebuie să aibă cel puțin o culoare în stânga, deci există cinci sloturi disponibile pentru primul X. Deoarece lista include acum un X, există șase sloturi disponibile pentru al doilea X ​​și șapte sloturi disponibile pentru al treilea X. În total, există 5 × 6 × 7 = 7! / 4! modalități de a scrie codul. Cu toate acestea, ordinea camerelor este arbitrară, deci există într-adevăr doar 7! / (4! × 3!) Aranjamente unice. În general, puteți alege r elemente în orice ordine din n opțiuni repetabile în moduri (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!].