În matematică, o succesiune este orice șir de numere dispuse în ordine crescătoare sau descrescătoare. O secvență devine o secvență geometrică atunci când puteți obține fiecare număr prin înmulțirea numărului anterior cu un factor comun. De exemplu, seria 1, 2, 4, 8, 16... este o secvență geometrică cu factorul comun 2. Dacă înmulțiți orice număr din serie cu 2, veți obține următorul număr. Prin contrast, secvența 2, 3, 5, 8, 14, 22... nu este geometric, deoarece nu există un factor comun între numere. O secvență geometrică poate avea un factor comun fracțional, caz în care fiecare număr succesiv este mai mic decât cel care o precedă. 1, 1/2, 1/4, 1/8... este un exemplu. Factorul său comun este 1/2.
Faptul că o secvență geometrică are un factor comun vă permite să faceți două lucruri. Primul este să calculați orice element aleatoriu din secvență (pe care matematicienilor le place să numească „nal "element), iar al doilea este de a găsi suma secvenței geometrice până lanal treilea element. Când sumați secvența punând un semn plus între fiecare pereche de termeni, transformați secvența într-o serie geometrică.
Găsirea celui de-al nouălea element dintr-o serie geometrică
În general, puteți reprezenta orice serie geometrică în felul următor:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
Unde "A"este primul termen din serie și"r"este factorul comun. Pentru a verifica acest lucru, luați în considerare seria în careA= 1 șir= 2. Obțineți 1 + 2 + 4 + 8 + 16... functioneaza!
După ce am stabilit acest lucru, este acum posibil să derivăm o formulă pentru al n-lea termen din secvență (Xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Exponentul esten- Mai degrabă decât 1npentru a permite ca primul termen din secvență să fie scris caar0, care este egal cu "A."
Verificați acest lucru calculând al patrulea termen din seria de exemple.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Calculul sumei unei secvențe geometrice
Dacă doriți să însumați o secvență divergentă, care este una cu o rație comună mai mare de 1 sau mai mică de -1, puteți face acest lucru numai până la un număr finit de termeni. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze suma unei secvențe convergente infinite, care este una cu un raport comun între 1 și - 1.
Pentru a dezvolta formula sumelor geometrice, începeți luând în considerare ceea ce faceți. Căutați totalul următoarelor serii de adăugiri:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Fiecare termen din serie esteark, șikmerge de la 0 lan− 1. Formula pentru suma seriei folosește semnul capital sigma - ∑ - ceea ce înseamnă că se adaugă toți termenii din (k= 0) la (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Pentru a verifica acest lucru, luați în considerare suma primilor 4 termeni ai seriei geometrice începând cu 1 și având un factor comun de 2. În formula de mai sus,A = 1, r= 2 șin= 4. Conectând aceste valori, veți obține:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Acest lucru este ușor de verificat prin adăugarea personală a numerelor din serie. De fapt, atunci când aveți nevoie de suma unei serii geometrice, este de obicei mai ușor să adăugați numerele singuri atunci când există doar câțiva termeni. Totuși, dacă seria are un număr mare de termeni, este mult mai ușor să utilizați formula sumelor geometrice.