Conceptul devalori propriieste obscur, dar este foarte util pentru matematicieni și oamenii de știință fizici care se confruntă cu anumite probleme interesante.
Pentru a înțelege o valoare proprie, imaginați-vă că aveți o funcție (de exemplu,y = X2 + 6X, sauy= jurnal 4X) pe care l-ați putea face printr-un proces astfel încât rezultatul să fie același cu înmulțirea întregii funcții cu o valoare constantă. O astfel de funcție s-ar califica dreptfuncția proprie, iar constanta ar fi o valoare proprie.
- „Eigen” este germană pentru „același lucru”.
Pentru a înțelege cel mai bine valorile proprii și funcțiile proprii și pentru a putea calcula singur valorile proprii, aveți nevoie de o înțelegere de bază a matricelor. Aceste trucuri matematice sunt folosite pentru a determina, de exemplu, ordinea de legătură a NO2 (dioxid de azot) și alte molecule, deoarece comportamentul electronilor în atomi este determinat de funcțiile de undă care se califică drept funcții proprii.
Ce este o matrice?
O matrice este o matrice de numere ordonate în rânduri și coloane, care poate fi de la 1 la
n. Dimensiunile matricilor sunt date ca rând cu coloană; de exemplu, următorul este o matrice 2-la-3:\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matricile pot fi adăugate împreună dacă au aceeași dimensiune (adică au același număr de rânduri și același număr de coloane). Ele pot fi, de asemenea, înmulțite împreună printr-un proces etapizat în aceleași condiții. În plus, orice matrice poate fi înmulțită cu un vector, care este 1-cu-nsaun-la-1 matrice; aceasta include și alți vectori.
Ce este o ecuație a valorii proprii?
Spuneți că aveți unn-de-nsau matrice „pătrată”A, un non-zeron-de-1 vectorv, și un scalarλ, astfel încât următoarea ecuație este îndeplinită:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Orice valoare deλpentru care această ecuație are o soluție este cunoscută ca o valoare proprie a matriceiA.
Nu vă lăsați mintea să trateze expresiile de mai sus ca pe un produs.Aeste unoperatorpe sau o transformare liniară a vectoruluiv, acest calcul fiind posibil doar pentru căAșivamândoi aunrânduri.
De ce să folosiți funcțiile Eigenvalue?
Derivarea este complicată, dar în chimia atomică, operatorul hamiltonian "H-bar" este utilizat pentru a exprima energia cinetică și potențială a unui sistem:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
Aceasta este utilizată pentru a scrie o formă aEcuația funcției de undă Schrodingerîn mecanica cuantică:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
AiciEreprezintă valorile proprii care satisfac această ecuație.
Modalități de a găsi valorile proprii ale unei matrice
Din ecuația Av = λv, veți obțineA v − λv=0. Asta duce la:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
UndeEueste matricea de identitate 2-cu-2 cu rânduri de [λ0] și [0λ], ducând la 1 atunci când este înmulțit cu scalarulλ. Acest rezultat produce:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Care dacăveste diferit de zero, are o soluție numai dacă valoarea absolută aA− λEu, sau |A − λEu|, este zero. Dacă le faci manual, implică rezolvarea unei ecuații pătratice și poate fi obositor.
Pentru a înmulți două matrice împreună, pentru fiecare punct din matricea produsului, înmulțiți punctele corespunzătoare împreună și adăugați acest lucru la produsele elementelor de rând și coloană rămase în rândul și coloana la care noul punct apartine.
În înmulțirea a două matrice 2-la-2AșiBîmpreună, dacă primul rând deAeste [1 3] și prima coloană dinBeste [2 5], numărul din prima coloană și rândul noii matrice ar fi [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 și corespunzător pentru celelalte trei puncte.
Calculați valorile proprii online
În Resurse, veți găsi un instrument de calcul al matricei care vă permite să găsiți valori proprii și multe altele pentru o matrice de aproape orice dimensiune imaginabilă.