Cum se găsește o ecuație exponențială cu două puncte

Dacă cunoașteți două puncte care cad pe o anumită curbă exponențială, puteți defini curba rezolvând funcția exponențială generală folosind acele puncte. În practică, aceasta înseamnă înlocuirea punctelor cu y și x în ecuația y = ab^X. Procedura este mai ușoară dacă valoarea x pentru unul dintre puncte este 0, ceea ce înseamnă că punctul se află pe axa y. Dacă niciunul dintre puncte nu are o valoare x zero, procesul de rezolvare pentru x și y este puțin mai complicat.

Multe sisteme importante urmează modele exponențiale de creștere și descompunere. De exemplu, numărul bacteriilor dintr-o colonie crește de obicei exponențial, iar radiația ambientală din atmosferă în urma unui eveniment nuclear de obicei scade exponențial. Luând date și trasând o curbă, oamenii de știință sunt într-o poziție mai bună de a face predicții.

Orice punct al unui grafic bidimensional poate fi reprezentat prin două numere, care sunt de obicei scrise în in forma (x, y), unde x definește distanța orizontală de la origine și y reprezintă verticala distanţă. De exemplu, punctul (2, 3) este două unități la dreapta axei y și trei unități deasupra axei x. Pe de altă parte, punctul (-2, -3) este de două unități la stânga axei y. și trei unități sub axa x.

Dacă aveți două puncte, (x₁, y₁) și (x₂, y₂), puteți defini funcția exponențială care trece prin aceste puncte înlocuindu-le în ecuația y = ab^X și rezolvarea pentru a și b. În general, trebuie să rezolvați această pereche de ecuații:

y₁ = ab^x1 și y₂ = ab^x2, .

În această formă, matematica pare puțin complicată, dar arată mai puțin după ce ați făcut câteva exemple.

Dacă una dintre valorile x - spuneți x₁ - este 0, operația devine foarte simplă. De exemplu, rezolvarea ecuației pentru punctele (0, 2) și (2, 4) produce:

2 = ab⁰ și 4 = ab². Din moment ce știm că b⁰ = 1, prima ecuație devine 2 = a. Înlocuind a în a doua ecuație rezultă 4 = 2b², pe care îl simplificăm în b² = 2 sau b = rădăcină pătrată a lui 2, care este egală cu aproximativ 1,41. Funcția definitorie este atunci y = 2 (1,41)^X.

Dacă nici o valoare x nu este zero, rezolvarea perechii de ecuații este puțin mai greoaie. Henochmath ne trece printr-un exemplu ușor pentru a clarifica această procedură. În exemplul său, el a ales perechea de puncte (2, 3) și (4, 27). Acest lucru dă următoarea pereche de ecuații:

27 = ab⁴

3 = ab²

Dacă împărțiți prima ecuație la a doua, obțineți

9 = b²

deci b = 3. Este posibil ca și b să fie egal cu -3, dar, în acest caz, presupuneți că este pozitiv.

Puteți înlocui această valoare cu b în oricare dintre ecuații pentru a obține a. Este mai ușor să folosiți a doua ecuație, deci:

3 = a (3)² care poate fi simplificat la 3 = a9, a = 3/9 sau 1/3.

Ecuația care trece prin aceste puncte poate fi scrisă ca y = 1/3 (3)^X.

Din 1910, creșterea populației umane a fost exponențială și, trasând o curbă de creștere, oamenii de știință sunt într-o poziție mai bună pentru a prezice și planifica viitorul. În 1910, populația lumii era de 1,75 miliarde, iar în 2010, era de 6,87 miliarde. Luând 1910 ca punct de plecare, aceasta dă perechea de puncte (0, 1,75) și (100, 6,87). Deoarece valoarea x a primului punct este zero, putem găsi cu ușurință un.

1,75 = ab⁰ sau a = 1,75. Conectarea acestei valori, împreună cu cele din al doilea punct, în ecuația exponențială generală produce 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, care dă valoarea lui b ca rădăcină a sasea de 6,87 / 1,75 sau 3,93. Deci ecuația devine y = 1,75 (rădăcina a suta a lui 3,93)^X. Deși este nevoie de mai mult decât o regulă pentru a face acest lucru, oamenii de știință pot folosi această ecuație pentru a proiecta numărul viitor al populației pentru a ajuta politicienii din prezent să creeze politici adecvate.