Cum să găsiți instrumente derivate

Una dintre operațiile importante pe care le faceți în calcul este găsirea derivatelor. Derivata unei funcții se mai numește și rata de schimbare a acelei funcții. De exemplu, dacă x (t) este poziția unei mașini în orice moment t, atunci derivata lui x, care este scris dx / dt, este viteza mașinii. De asemenea, derivata poate fi vizualizată ca panta unei linii tangente la graficul unei funcții. La nivel teoretic, așa găsesc derivatele matematicienii. În practică, matematicienii folosesc seturi de reguli de bază și tabele de căutare.

Panta unei linii între două puncte este creșterea sau diferența în valorile y împărțite la cursă sau diferența în valorile x. Panta unei funcții y (x) pentru o anumită valoare a lui x este definită ca panta unei linii care este tangentă funcției în punctul [x, y (x)]. Pentru a calcula panta construiți o linie între punctul [x, y (x)] și un punct din apropiere [x + h, y (x + h)], unde h este un număr foarte mic. Pentru această linie, cursa sau modificarea valorii x este h, iar creșterea sau modificarea valorii y este y (x + h) - y (x). În consecință, panta lui y (x) în punctul [x, y (x)] este aproximativ egală cu [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Pentru a obține panta exact, calculați valoarea pantei pe măsură ce h devine din ce în ce mai mic, până la „limita” unde merge la zero. Panta calculată astfel este derivata lui y (x), care este scrisă ca y ’(x) sau dy / dx.

Puteți utiliza metoda pantă / limită pentru a calcula derivatele funcțiilor în care y este egal cu x la puterea lui a, sau y (x) = x ^ a. De exemplu, dacă y este egal cu x cub, y (x) = x ^ 3, atunci dy / dx este limita, deoarece h merge la zero de [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Extinderea (x + h) ^ 3 dă [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, care se reduce la 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 după ce împărțiți până la h. În limita în care h merge la zero, toți termenii care au h în ei merg, de asemenea, la zero. Deci, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Puteți face acest lucru pentru valori altele decât 3 și, în general, puteți arăta că d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Multe funcții pot fi scrise ca ceea ce se numește o serie de puteri, care sunt suma unui număr infinit de termeni, unde fiecare are forma C (n) x ^ n, unde x este o variabilă, n este un număr întreg și C (n) este un număr specific pentru fiecare valoare a n. De exemplu, seria de putere pentru funcția sinusoidală este Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., unde „...” înseamnă termeni care continuă pe catre infinit. Dacă cunoașteți seria de putere pentru o funcție, puteți utiliza derivata puterii x ^ n pentru a calcula derivata funcției. De exemplu, derivata lui Sin (x) este egală cu 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., ceea ce se întâmplă să fie seria de putere pentru Cos (x).

Derivatele funcțiilor de bază, cum ar fi puteri precum x ^ a, funcții exponențiale, funcții jurnal și funcții trig, se găsesc folosind metoda pantei / limitei, metoda seriei de putere sau alte metode. Aceste derivate sunt apoi listate în tabele. De exemplu, puteți căuta că derivatul Sin (x) este Cos (x). Când funcțiile complexe sunt combinații ale funcțiilor de bază, aveți nevoie de reguli speciale, cum ar fi regula lanțului și regula produsului, care sunt, de asemenea, date în tabele. De exemplu, utilizați regula lanțului pentru a afla că derivatul lui Sin (x ^ 2) este 2xCos (x ^ 2). Folosiți regula produsului pentru a afla că derivatul lui xSin (x) este xCos (x) + Sin (x). Folosind tabele și reguli simple, puteți găsi derivata oricărei funcții. Dar când o funcție este extrem de complexă, oamenii de știință apelează uneori la programe de calculator pentru ajutor.