În matematică apare uneori necesitatea de a demonstra dacă funcțiile sunt dependente sau independente una de alta în sens liniar. Dacă aveți două funcții care sunt liniare dependente, graficul ecuațiilor acestor funcții are ca rezultat puncte care se suprapun. Funcțiile cu ecuații independente nu se suprapun atunci când sunt reprezentate grafic. O metodă de a determina dacă funcțiile sunt dependente sau independente este calcularea Wronskianului pentru funcții.
Ce este un Wronskian?
Wronskianul a două sau mai multe funcții este ceea ce este cunoscut ca determinant, care este o funcție specială utilizată pentru a compara obiecte matematice și a demonstra anumite fapte despre ele. În cazul Wronskianului, determinantul este utilizat pentru a dovedi dependența sau independența între două sau mai multe funcții liniare.
Matricea Wronskiană
Pentru a calcula Wronskianul pentru funcții liniare, funcțiile trebuie rezolvate pentru aceeași valoare într-o matrice care conține atât funcțiile, cât și derivatele lor. Un exemplu în acest sens este
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
care oferă Wronskian pentru două funcții (fșig) care sunt rezolvate pentru o singură valoare mai mare decât zero (t); puteți vedea cele două funcțiif(t) șig(t) în rândul de sus al matricei și derivatelef'(t) șig'(t) în rândul de jos. Rețineți că Wronskian poate fi folosit și pentru seturi mai mari. Dacă, de exemplu, testați trei funcții cu un Wronskian, atunci puteți completa o matrice cu funcțiile și derivatele luif(t), g(t) șih(t).
Rezolvarea Wronskianului
Odată ce aveți funcțiile aranjate într-o matrice, înmulțiți fiecare funcție cu derivata celeilalte funcții și scădeți prima valoare din a doua. Pentru exemplul de mai sus, acest lucru vă oferă
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Dacă răspunsul final este egal cu zero, aceasta arată că cele două funcții sunt dependente. Dacă răspunsul este altceva decât zero, funcțiile sunt independente.
Exemplu Wronskian
Pentru a vă face o idee mai bună despre cum funcționează acest lucru, presupuneți că
f (t) = x + 3 \ text {și} g (t) = x - 2
Folosind o valoare det= 1, puteți rezolva funcțiile ca
f (1) = 4 \ text {și} g (1) = -1
Deoarece acestea sunt funcții liniare de bază cu o pantă de 1, derivatele ambelorf(t) șig(t) egal 1. Înmulțirea încrucișată a valorilor vă oferă
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
care oferă un rezultat final de 5. Deși funcțiile liniare au ambele aceeași pantă, ele sunt independente, deoarece punctele lor nu trebuie să se suprapună. Dacăf(t) a produs un rezultat de -1 în loc de 4, Wronskian ar fi dat în schimb un rezultat zero pentru a indica dependența.