Trucuri pentru factorizarea ecuațiilor quadratice

Ecuațiile pătratice sunt formule care pot fi scrise sub forma Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Uneori, o ecuație pătratică poate fi simplificată prin factorizare sau exprimând ecuația ca produs de termeni separați. Acest lucru poate face ecuația mai ușor de rezolvat. Factorii pot fi uneori greu de identificat, dar există trucuri care pot face procesul mai ușor.

Examinați ecuația pătratică pentru a determina dacă există un număr și / sau o variabilă care poate împărți fiecare termen al ecuației. De exemplu, considerați ecuația 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Cel mai mare număr care se poate împărți în mod egal în fiecare termen al ecuației este 2, deci 2 este cel mai mare factor comun (MCD).

Împărțiți fiecare termen din ecuație cu MCD și înmulțiți întreaga ecuație cu MCD. În ecuația de exemplu 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, acest lucru ar rezulta în 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Simplificați expresia completând împărțirea în fiecare termen. Nu ar trebui să existe fracții în ecuația finală. În exemplu, acest lucru ar rezulta în 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Examinați ecuația pătratică pentru a vedea dacă are forma Ax ^ 2 + 0x - C = 0, unde A = y ^ 2 și C = z ^ 2. Dacă acesta este cazul, ecuația pătratică exprimă diferența de două pătrate. De exemplu, în ecuația 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 și C = 9 = 3 ^ 2, deci y = 2 și z = 3.

Factorizați ecuația în forma (yx + z) (yx - z) = 0. În ecuația de exemplu, y = 2 și z = 3; prin urmare ecuația pătratică factorizată este (2x + 3) (2x - 3) = 0. Aceasta va fi întotdeauna forma luată în calcul a unei ecuații pătratice care este diferența de pătrate.

Examinați ecuația pătratică pentru a vedea dacă este un pătrat perfect. Dacă ecuația pătratică este un pătrat perfect, se poate scrie sub forma y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, cum ar fi ecuația 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, care poate fi rescrisă ca (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. În acest caz, y = 2x și z = 3.

Verificați dacă termenul 2yz este pozitiv. Dacă termenul este pozitiv, factorii ecuației pătrate perfecte sunt întotdeauna (y + z) (y + z). De exemplu, în ecuația de mai sus, 12x este pozitiv, prin urmare factorii sunt (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Verificați dacă termenul 2yz este negativ. Dacă termenul este negativ, factorii sunt întotdeauna (y - z) (y - z). De exemplu, dacă ecuația de mai sus ar avea termenul -12x în loc de 12x, factorii ar fi (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Configurați forma factorizată a ecuației pătratice scriind (vx + w) (yx + z) = 0. Amintiți-vă regulile pentru înmulțirea FOIL (primul, exteriorul, interiorul, ultimul). Deoarece primul termen al ecuației pătratice este un Ax ^ 2, ambii factori ai ecuației trebuie să includă un x.

Rezolvați pentru v și y luând în considerare toți factorii lui A din ecuația pătratică. Dacă A = 1, atât v cât și y vor fi întotdeauna 1. În exemplul ecuației x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, deci v și y pot fi rezolvate în ecuația factorizată pentru a obține (1x + w) (1x + z) = 0.

Determinați dacă w și z sunt pozitive sau negative. Se aplică următoarele reguli: C = pozitiv și B = pozitiv; ambii factori au semnul + C = pozitiv și B = negativ; ambii factori au un - semn C = negativ și B = pozitiv; factorul cu cea mai mare valoare are semnul + C = negativ și B = negativ; factorul cu cea mai mare valoare are un semn - În ecuația de exemplu de la Pasul 2, B = -9 și C = +8, deci ambii factori ai ecuației vor avea - semne, iar ecuația factorizată poate fi scrisă ca (1x - w) (1x - z) = 0.

Faceți o listă cu toți factorii lui C pentru a găsi valorile pentru w și z. În exemplul de mai sus, C = 8, deci factorii sunt 1 și 8, 2 și 4, -1 și -8 și -2 și -4. Factorii trebuie să adune la B, care este -9 în ecuația de exemplu, deci w = -1 și z = -8 (sau invers) și ecuația noastră este pe deplin luată în considerare ca (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Reduceți ecuația la cea mai simplă formă, utilizând metoda Cel mai mare factor comun enumerată mai sus. De exemplu, în ecuația 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, MCD este 9, deci ecuația se simplifică la 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Desenați o cutie și împărțiți-o într-un tabel cu două rânduri și două coloane. Puneți Ax ^ 2 al ecuației simplificate în rândul 1, coloana 1 și C al ecuației simplificate în rândul 2, coloana 2.

Înmulțiți A cu C și găsiți toți factorii produsului. În exemplul de mai sus, A = 1 și C = -10, deci produsul este (1) (- 10) = -10. Factorii lui -10 sunt -1 și 10, -2 și 5, 1 și -10 și 2 și -5.

Identificați care dintre factorii produsului AC se adaugă la B. În exemplu, B = 3. Factorii de -10 care însumează 3 sunt -2 și 5.

Înmulțiți fiecare dintre factorii identificați cu x. În exemplul de mai sus, aceasta ar avea ca rezultat -2x și 5x. Puneți acești doi termeni noi în cele două spații goale de pe diagramă, astfel încât tabelul să arate astfel:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Găsiți MCD pentru fiecare rând și coloană a casetei. În exemplu, CGF pentru rândul de sus este x, iar pentru rândul de jos este -2. MCD pentru prima coloană este x, iar pentru a doua coloană este 5.

Scrieți ecuația factorizată în forma (w + v) (y + z) folosind factorii identificați din rândurile grafice pentru w și v și factorii identificați din coloanele grafice pentru y și z. Dacă ecuația a fost simplificată la Pasul 1, nu uitați să includeți MCD al ecuației în expresia factorizată. În cazul exemplului, ecuația luată în calcul va fi 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Asigurați-vă că ecuația este în formă pătratică standard înainte de a începe oricare dintre metodele descrise.

Nu este întotdeauna ușor să identificați un pătrat perfect sau o diferență de pătrate. Dacă puteți vedea rapid că ecuația pătratică pe care încercați să o luați în calcul se află într-una din aceste forme, atunci aceasta poate fi de mare ajutor. Cu toate acestea, nu petreceți mult timp încercând să descoperiți acest lucru, deoarece celelalte metode ar putea fi mai rapide.

Verificați-vă întotdeauna munca multiplicând factorii utilizând metoda FOIL. Factorii ar trebui să se înmulțească întotdeauna înapoi la ecuația pătratică originală.